求一个数组中第K小的数

面试南大夏令营的同学说被问到了这个问题，我的第一反应是建小顶堆，但是据他说用的是快排的方法说是O（n）的时间复杂度，

但是后来经过我的考证，这个算法在最坏的情况下是O（n^2）的，但是使用堆在一般情况下是O（n+klogn），最坏的情况是O（nlogn）

把两种方法整理一下，我还是推荐使用小顶堆的方法，因为它不仅可以求第K大，还可以求前K大。。。

一。快排。借用了快排的partition思想，其实是一种分治的方法。对于一个partition，他左边的数小于他，右边的数全大于他

那么：

　　1.如果他本身就是第K个数，直接返回。

　　2.如果他的下标是比K大的某个数，那么第K小数肯定出现在他左边。那么到partition的左边递归地求解

　　3.如果他的下标是比K小的某个数，那么第K小数肯定出现在他右边。那么到partition的右边递归地求解

唯一需要注意的地方是，要注意在递归的过程中,第K小数是一个相对值，即相对于区间[l，r]的左边界l；

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 1000;
int a[maxn];
int n = 10,k = 6;

int part(int low, int high)
{
    int pivot = a[low];
    while(low < high){
        while(low < high&&a[high] >= pivot) high--;
        a[low] = a[high];
        while(low < high&&a[low] <= pivot) low++;
        a[high] = a[low];
    }
    a[low]=pivot;
    return low;
}

int quicksort(int l, int r, int k){
    int pos = part(l,r);
    if(pos - l + 1 == k) return a[pos];
    else if(pos - l + 1> k) return quicksort(l,pos-1,k);
    else return quicksort(pos+1,r,k-(pos-l+1));
}

int main()
{
    srand((unsigned)time(NULL));
    for(int i = 0; i < n; ++i){
        a[i] = rand()%(n<<1);
    }
    for(int i = 0; i < n; ++i)
        printf("%d ",a[i]);
    printf("\n");
    int x = quicksort(0,n-1,k);
    printf("%d\n", x);
}

二。小顶堆

使用堆可以求出最小的元素，通过不断地弹出元素，就可以找到第K大的元素

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 1000;
int a[maxn];
int n,k;

void adjust_heap(int rt,int n)
{
    int x=a[rt],pos = rt;
    while(rt <= n){
        int lc = rt << 1,rc = lc|1;
        if(lc <= n&&a[lc] < x) pos = lc;
        if(rc <= n&&a[rc] < a[pos]) pos = rc;
        if(pos == rt) break;
        a[rt] = a[pos];
        rt = pos;
    }
    a[pos] = x;
}

int search_k()
{
    for(int i = n/2;i >= 1; --i){//建堆的复杂度是O（n）的
        adjust_heap(i,n);
    }
    int sz = n;
    for(int i = 1; i < k; ++i){//每次弹出要向下调整，调整K次，复杂度为O（Klogn）
        a[1] = a[sz--];
        adjust_heap(1,sz);
    }
    return a[1];
}
int main()
{
    srand((unsigned)time(NULL));
    scanf("%d%d",&n,&k);
    for(int i = 1; i <= n; ++i){
        a[i] = rand()%(n<<1);
    }
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
        printf("%d ",a[i]);
    printf("\n");
    int x = search_k();
    printf("%d\n", x);
}