浅析中国剩余定理（CRT）

中国剩余定理

用来求解同余方程组的最小非负整数解，其中 m_{1},m_{2},m_{3}......m_{n}都互质

       \left\{\begin{matrix} x\equiv a_{1}\, (\, mod\, m_{1})& & \\ x\equiv a_{2}\, (\, mod\, m_{2})& & \\ x\equiv a_{3}\, (\, mod\, m_{3})& & \\ \, \, \, ......& & \\ x\equiv a_{n}\, (\, mod\, m_{n})& & \end{matrix}\right.

首先让 M 等于所有 m_{i} 的最小公倍数，对于求解每一个的方程

先设一个 temp = M / m_{i}，再求解其逆元 b_{i}

temp*b_{i}\equiv 1 (\, mod \, m_{i} )

则会有一组最小解 x=\sum_{i=1}^{n}a_{i}*b_{i}*temp_{i}

其通解就是x_{i}=x+i*M

如果没有看懂，可以看详细求解同余方程这一篇博客

代码

数论大法好，人间真善美。。。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
 
int a[1007] , m[1007] ;
int n , ans , M =1 ; 
 
int exgcd( int a , int b , int &x , int &y ) //扩展欧几里得
{
	if( b ==0 ) {
		x = 1;
		y = 0;
		return a;
	}
	else {
		int u = exgcd( b , a%b , y , x );
		y -= (a/b)*x ;
		return u;
	}
}
 
void China()
{
	for(int i = 1 ; i <= n ; ++ i ) {
		int temp = M / a[i] ;
		int x , y ;
		int gcd = exgcd( temp , a[i] , x , y );
		x = (x%a[i]+a[i])%a[i] ;
		ans = (ans + temp*x*m[i] ) % M ;
	}
}
 
int main()
{
	
	scanf("%d", &n );
	for(int i =1 ; i <= n ; ++ i ) {
		scanf("%d%d", &a[i] , &m[i] );
		M *= a[i] ;//最小公倍数
	}
	China();
	printf("%d", (ans%M+M) % M );
	return 0;
}

 

posted @ 2019-04-03 13:33  Nomad_Joe_violet  阅读(2)  评论(0)  编辑  收藏  举报  来源