JZYZ作业好题

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• • 敲砖块
  • Circle

1|0敲砖块

首先把砖块向左对齐， 这样选择第$(i,j)$块的前提是第$(i-1,j),(i-1,j+1)$被选

满足敲掉的砖块总代价最大，显然是动态规划，接下来我们思考如何设计状态

按照正常的思路应当是$f[i][j]$表示到第$i$行一共选择$j$个的最大价值，但是选择第$i$行的每一个所对应的$f[i-1][]$的状态和选择都不一样，且很不好维护最值(貌似还要容斥)

我们尝试更改状态，思考敲掉一个砖块需要哪些被敲掉

若敲掉蓝色点$(i,j)$，显然第$j$至少敲掉前$i$个， 第$j+1$列至少敲掉前$i-1$个，依次类推

所以我们发现，如果按列考虑，不仅可以保证一定可以敲掉，而且统计答案非常方便

设计状态$f[i][j][k]$表示第$i$列，敲掉前$j$个且一共敲掉前$k$的最大价值

则$f[i][j][k]=max(f[i+1][s][k-j]+sum[j][i],s\ge j-1)$，$sum[j][i]$表示第j列取前$i$个的价值

复杂度为$n^5$，但是跑不满，应该除以一个至少为4的常数，所以能跑过，不过枚举$s$可以优化掉，这样就变成$n^4$

#include<bits/stdc++.h> //竖着看 
using namespace std;
#define LL long long 
const int MAX = 55;
int f[MAX][MAX][MAX * MAX]; //先i列，第i列选j个，总数为 k
int n, m, a[MAX][MAX], Num[MAX];
int sum[MAX][MAX], ans = 0;
int main() {
	freopen("brike.in","r",stdin);
	freopen("brike.out","w",stdout);
	scanf("%d%d", &n, &m);
	for(int i = 1; i <= n; i++) 
		for(int j = 1; j <= (n - i + 1); j++) {
			scanf("%d", &a[i][j]); 
			sum[i][j] = sum[i - 1][j];
			sum[i][j] += a[i][j];
		} 
	for(int i = 1; i <= n; i++) Num[i] = Num[i - 1] + i;
	for(int i = n; i >= 1; i--) { //第i列 
		for(int j = 0; j <= (n - i + 1); j++) { //第i列选j个 
			for(int k = Num[j]; k <= m; k++) { //选择总数 
				for(int s = j - 1; s <= ((n - i)); s++) { //上一列选多少 
					if(j == 0) { f[i][j][k] = max(f[i + 1][max(0, s)][k], f[i][j][k]); }
					else  if(k - j >= 0) f[i][j][k] = max(f[i][j][k], f[i + 1][s][k - j] + sum[j][i]);
					ans = max(ans, f[i][j][k]);
				}
			}
		}
	}
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}

2|0Circle

这道题难的就是问题转化

如果一个序列为$101001100$,我们发现答案就是由$0$隔开的连续$1$的周期的$lcm$

那么一段连续$1$的方格的周期是多少，手玩可得$cnt+3$,$cnt$为连续$1$的个数

那么问题就转化为了$\sum cn{t}_i<=150$,$lcm(cn{t}_1+3,cn{t}_2+3,cn{t}_3+\mathrm{3...})$的个数

设计状态$f[i]$表示前$i$个位置的$lcm$个数，且$i$个位置一定放$1$

发现，$lcm(cnt)$最大也不会爆$LL$,最大的为选择5个30左右的质数相乘

考虑用$set$转移，$f[i]$表示前$i$个位置且第$i$个位置一定放$1$的$lcm$种类

那么考虑第$i$个位置会向前填充多少$j$个连续的$1$,为保证状态的合法， $f[i]$应由$f[j-1]$转移而来，保证$i$向前的是单独的一段，解释起来太麻烦了，直接看代码

	f[0].insert(1);//初始化
	f[1].insert(1);
	for(int i = 2; i <= 150; i++) {
		for(int j = i - 2; j >= 0; j--) { //保证是单独的一段
			for(auto k : f[j]) {
				LL lcmnow = (1LL * k * (i - j + 2) / __gcd(k, 1LL * (i - j + 2)));
				f[i].insert(lcmnow);
			}
		}	
	} 
	for(int i = 1; i <= 150; i++) {
		printf("%d ,\n", f[i].size()); //size即为答案
		for(auto y : f[i]) {
			f[i + 1].insert(y);//后面可以不填，对i个位置，f[i-1],f[i-2],f[i-3]..的答案也是合法的，类似前缀搞一下
		}
	}

做完发现时间复杂度偏高，但是150非常小，直接打表即可

//问题转化， 转方格的周期 == lcm(ai + 3)的个数 
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long 
const int MAX = 160;
unordered_set<LL> f[MAX];
int ans[151] = {
0,
1 ,
2 ,
3 ,
4 ,
6 ,
8 ,
11 ,
13 ,
18 ,
21 ,
26 ,
31 ,
37 ,
45 ,
51 ,
58 ,
66 ,
78 ,
88 ,
100 ,
114 ,
128 ,
145 ,
163 ,
180 ,
200 ,
222 ,
245 ,
274 ,
305 ,
333 ,
367 ,
402 ,
443 ,
486 ,
529 ,
574 ,
629 ,
686 ,
741 ,
807 ,
872 ,
939 ,
1016 ,
1100 ,
1184 ,
1277 ,
1371 ,
1476 ,
1593 ,
1708 ,
1826 ,
1962 ,
2100 ,
2246 ,
2408 ,
2571 ,
2745 ,
2939 ,
3129 ,
3331 ,
3556 ,
3780 ,
4018 ,
4279 ,
4547 ,
4826 ,
5129 ,
5440 ,
5773 ,
6127 ,
6477 ,
6861 ,
7279 ,
7693 ,
8134 ,
8610 ,
9092 ,
9606 ,
10160 ,
10709 ,
11296 ,
11926 ,
12563 ,
13252 ,
13979 ,
14704 ,
15480 ,
16306 ,
17148 ,
18043 ,
18975 ,
19920 ,
20950 ,
22031 ,
23112 ,
24270 ,
25492 ,
26718 ,
28038 ,
29424 ,
30815 ,
32303 ,
33862 ,
35451 ,
37152 ,
38906 ,
40686 ,
42602 ,
44597 ,
46612 ,
48765 ,
50991 ,
53269 ,
55715 ,
58222 ,
60770 ,
63504 ,
66323 ,
69185 ,
72257 ,
75410 ,
78619 ,
82047 ,
85591 ,
89214 ,
93045 ,
96967 ,
101005 ,
105318 ,
109711 ,
114201 ,
118995 ,
123890 ,
128930 ,
134279 ,
139725 ,
145307 ,
151253 ,
157314 ,
163550 ,
170152 ,
176876 ,
183799 ,
191137 ,
198616 ,
206295 ,
214387 ,
222649 ,
231205};
int main() {
	freopen("circle.in","r",stdin);
	freopen("circle.out","w",stdout);
	int n;
	while(~scanf("%d", &n)) {
		printf("%d\n", ans[n]);
	}
//	f[0].insert(1);
//	f[1].insert(1);
//	for(int i = 2; i <= 150; i++) {
//		for(int j = i - 2; j >= 0; j--) {
//			for(auto k : f[j]) {
//				LL lcmnow = (1LL * k * (i - j + 2) / __gcd(k, 1LL * (i - j + 2)));
//				f[i].insert(lcmnow);
//			}
//		}
//		printf("i %d \n", i);
//	}
//		printf("***\n"); 
//	for(int i = 1; i <= 150; i++) {
//		printf("%d ,\n", f[i].size());
//		for(auto y : f[i]) {
//			f[i + 1].insert(y);
//		}
//	}
	
	return 0;
}

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本文作者：userName
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