JZYZ作业好题
敲砖块
首先把砖块向左对齐， 这样选择第
(
i
,
j
)
(i,j)
(i,j)块的前提是第
(
i
−
1
,
j
)
,
(
i
−
1
,
j
+
1
)
(i - 1, j),(i - 1,j + 1)
(i−1,j),(i−1,j+1)被选
满足敲掉的砖块总代价最大，显然是动态规划，接下来我们思考如何设计状态
按照正常的思路应当是
f
[
i
]
[
j
]
f[i][j]
f[i][j]表示到第
i
i
i行一共选择
j
j
j个的最大价值，但是选择第
i
i
i行的每一个所对应的
f
[
i
−
1
]
[
]
f[i-1][]
f[i−1][]的状态和选择都不一样，且很不好维护最值(貌似还要容斥)
我们尝试更改状态，思考敲掉一个砖块需要哪些被敲掉
若敲掉蓝色点
(
i
,
j
)
(i,j)
(i,j)，显然第
j
j
j至少敲掉前
i
i
i个， 第
j
+
1
j + 1
j+1列至少敲掉前
i
−
1
i - 1
i−1个，依次类推
所以我们发现，如果按列考虑，不仅可以保证一定可以敲掉，而且统计答案非常方便
设计状态 f [ i ] [ j ] [ k ] f[i][j][k] f[i][j][k]表示第 i i i列，敲掉前 j j j个且一共敲掉前 k k k的最大价值
则 f [ i ] [ j ] [ k ] = m a x ( f [ i + 1 ] [ s ] [ k − j ] + s u m [ j ] [ i ] , s ≥ j − 1 ) f[i][j][k]= max(f[i+1][s][k-j]+sum[j][i],s\ge j-1) f[i][j][k]=max(f[i+1][s][k−j]+sum[j][i],s≥j−1)， s u m [ j ] [ i ] sum[j][i] sum[j][i]表示第j列取前 i i i个的价值
复杂度为 n 5 n^5 n5，但是跑不满，应该除以一个至少为4的常数，所以能跑过，不过枚举 s s s可以优化掉，这样就变成 n 4 n^4 n4
#include<bits/stdc++.h> //竖着看
using namespace std;
#define LL long long
const int MAX = 55;
int f[MAX][MAX][MAX * MAX]; //先i列，第i列选j个，总数为 k
int n, m, a[MAX][MAX], Num[MAX];
int sum[MAX][MAX], ans = 0;
int main() {
freopen("brike.in","r",stdin);
freopen("brike.out","w",stdout);
scanf("%d%d", &n, &m);
for(int i = 1; i <= n; i++)
for(int j = 1; j <= (n - i + 1); j++) {
scanf("%d", &a[i][j]);
sum[i][j] = sum[i - 1][j];
sum[i][j] += a[i][j];
}
for(int i = 1; i <= n; i++) Num[i] = Num[i - 1] + i;
for(int i = n; i >= 1; i--) { //第i列
for(int j = 0; j <= (n - i + 1); j++) { //第i列选j个
for(int k = Num[j]; k <= m; k++) { //选择总数
for(int s = j - 1; s <= ((n - i)); s++) { //上一列选多少
if(j == 0) { f[i][j][k] = max(f[i + 1][max(0, s)][k], f[i][j][k]); }
else if(k - j >= 0) f[i][j][k] = max(f[i][j][k], f[i + 1][s][k - j] + sum[j][i]);
ans = max(ans, f[i][j][k]);
}
}
}
}
cout<<ans<<endl;
return 0;
}
Circle
这道题难的就是问题转化
如果一个序列为 101001100 101001100 101001100,我们发现答案就是由 0 0 0隔开的连续 1 1 1的周期的 l c m lcm lcm
那么一段连续 1 1 1的方格的周期是多少，手玩可得 c n t + 3 cnt+3 cnt+3, c n t cnt cnt为连续 1 1 1的个数
那么问题就转化为了 ∑ c n t i < = 150 \sum cnt_i<=150 ∑cnti<=150, l c m ( c n t 1 + 3 , c n t 2 + 3 , c n t 3 + 3... ) lcm(cnt_1+3,cnt_2+3,cnt_3+3...) lcm(cnt1+3,cnt2+3,cnt3+3...)的个数
设计状态 f [ i ] f[i] f[i]表示前 i i i个位置的 l c m lcm lcm个数，且 i i i个位置一定放 1 1 1
发现， l c m ( c n t ) lcm(cnt) lcm(cnt)最大也不会爆 L L LL LL,最大的为选择5个30左右的质数相乘
考虑用 s e t set set转移， f [ i ] f[i] f[i]表示前 i i i个位置且第 i i i个位置一定放 1 1 1的 l c m lcm lcm种类
那么考虑第 i i i个位置会向前填充多少 j j j个连续的 1 1 1,为保证状态的合法， f [ i ] f[i] f[i]应由 f [ j − 1 ] f[j-1] f[j−1]转移而来，保证 i i i向前的是单独的一段，解释起来太麻烦了，直接看代码
f[0].insert(1);//初始化
f[1].insert(1);
for(int i = 2; i <= 150; i++) {
for(int j = i - 2; j >= 0; j--) { //保证是单独的一段
for(auto k : f[j]) {
LL lcmnow = (1LL * k * (i - j + 2) / __gcd(k, 1LL * (i - j + 2)));
f[i].insert(lcmnow);
}
}
}
for(int i = 1; i <= 150; i++) {
printf("%d ,\n", f[i].size()); //size即为答案
for(auto y : f[i]) {
f[i + 1].insert(y);//后面可以不填，对i个位置，f[i-1],f[i-2],f[i-3]..的答案也是合法的，类似前缀搞一下
}
}
做完发现时间复杂度偏高，但是150非常小，直接打表即可
//问题转化， 转方格的周期 == lcm(ai + 3)的个数
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long
const int MAX = 160;
unordered_set<LL> f[MAX];
int ans[151] = {
0,
1 ,
2 ,
3 ,
4 ,
6 ,
8 ,
11 ,
13 ,
18 ,
21 ,
26 ,
31 ,
37 ,
45 ,
51 ,
58 ,
66 ,
78 ,
88 ,
100 ,
114 ,
128 ,
145 ,
163 ,
180 ,
200 ,
222 ,
245 ,
274 ,
305 ,
333 ,
367 ,
402 ,
443 ,
486 ,
529 ,
574 ,
629 ,
686 ,
741 ,
807 ,
872 ,
939 ,
1016 ,
1100 ,
1184 ,
1277 ,
1371 ,
1476 ,
1593 ,
1708 ,
1826 ,
1962 ,
2100 ,
2246 ,
2408 ,
2571 ,
2745 ,
2939 ,
3129 ,
3331 ,
3556 ,
3780 ,
4018 ,
4279 ,
4547 ,
4826 ,
5129 ,
5440 ,
5773 ,
6127 ,
6477 ,
6861 ,
7279 ,
7693 ,
8134 ,
8610 ,
9092 ,
9606 ,
10160 ,
10709 ,
11296 ,
11926 ,
12563 ,
13252 ,
13979 ,
14704 ,
15480 ,
16306 ,
17148 ,
18043 ,
18975 ,
19920 ,
20950 ,
22031 ,
23112 ,
24270 ,
25492 ,
26718 ,
28038 ,
29424 ,
30815 ,
32303 ,
33862 ,
35451 ,
37152 ,
38906 ,
40686 ,
42602 ,
44597 ,
46612 ,
48765 ,
50991 ,
53269 ,
55715 ,
58222 ,
60770 ,
63504 ,
66323 ,
69185 ,
72257 ,
75410 ,
78619 ,
82047 ,
85591 ,
89214 ,
93045 ,
96967 ,
101005 ,
105318 ,
109711 ,
114201 ,
118995 ,
123890 ,
128930 ,
134279 ,
139725 ,
145307 ,
151253 ,
157314 ,
163550 ,
170152 ,
176876 ,
183799 ,
191137 ,
198616 ,
206295 ,
214387 ,
222649 ,
231205};
int main() {
freopen("circle.in","r",stdin);
freopen("circle.out","w",stdout);
int n;
while(~scanf("%d", &n)) {
printf("%d\n", ans[n]);
}
// f[0].insert(1);
// f[1].insert(1);
// for(int i = 2; i <= 150; i++) {
// for(int j = i - 2; j >= 0; j--) {
// for(auto k : f[j]) {
// LL lcmnow = (1LL * k * (i - j + 2) / __gcd(k, 1LL * (i - j + 2)));
// f[i].insert(lcmnow);
// }
// }
// printf("i %d \n", i);
// }
// printf("***\n");
// for(int i = 1; i <= 150; i++) {
// printf("%d ,\n", f[i].size());
// for(auto y : f[i]) {
// f[i + 1].insert(y);
// }
// }
return 0;
}
