Codeforces340E Iahub and Permutations

题意:将一个序列的部分变为-1,要求k不能在k位置,已知变化后的序列问原序列有多少种
题解:不考虑不等于-1的部分,所有等于-1的部分对应的下标,可以分成两部分.
第一个部分是这个数的下标对应的数字不是-1,也就是说没有限制,有n1个
第二个部分是这个数的下标对应的数字是-1,也就是说有限制,这个数不能在这里,n2个
可以想到错排,错排可以用dp递推,也可以用容斥来推,这里用容斥
设f[i]为至少有i个数相同的序列个数f[i] = c(n2, i)*(n1+n2-i)!
相同的部分只能是n2中取,剩下的全排列

那么答案就是求f[0]并去除多余的部分
ans = f[0]-f[1]+f[2]-....+(-1)^n2*f[n2]
证明和错排一样,Ai为i在第i位的全排列
答案就是第一个不为1^第二个不为2....
摩根定律可以转化上面的式子...就是U-|容斥部分|

 

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define maxn 100100
using namespace std;
const ll mod = 1e9+7;
ll fc[maxn], fi[maxn], dir1[maxn], dir2[maxn], n, num1, num2, t;
ll f(ll a,ll b){
    ll ans = 1;
    a %= mod;
    while(b){
        if(b&1) ans = ans*a%mod;
        a = a*a%mod;
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}
void init(){
    fc[0] = 1;
    for(ll i=1;i<3000;i++) fc[i] = fc[i-1]*i%mod;
    fi[2500] = f(fc[2500], mod-2);
    for(ll i=2500;i>=1;i--) fi[i-1] = fi[i]*i%mod;
}
ll c(ll n,ll m){
    if(n<m) return 0;
    return fc[n]*fi[m]%mod*fi[n-m]%mod;
}
int main(){
    init();
    scanf("%lld", &n);
    for(ll i=0;i<n;i++){
        scanf("%lld", &t);
        //cout<<t<<endl;
        if(t == -1) num1++, dir1[i+1] = 1;
        else dir2[t] = 1;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(!dir2[i]&&dir1[i]) num2++;
    ll ans = 0;
    for(int i=0,t=1;i<=num2;i++,t*=-1){
        ans = (mod+ans+t*c(num2, i)*fc[num1-i])%mod;
    }
    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
}