一个 CTF Crypto 题解

我们首先得到一个加密程序

# !/usr/bin/env python3
from Crypto.Util.number import getStrongPrime, bytes_to_long
from flag import flag

if __name__ == "__main__":
    e = 3
    m = bytes_to_long(flag)
    print(m)
    p = getStrongPrime(1024)
    q = getStrongPrime(1024)
    n = p*q
    c = pow(m, e, n)
    print(f"c1 = {c}\nn1 = {n}")
    p = getStrongPrime(1024)
    q = getStrongPrime(1024)
    n = p*q
    c = pow(m, e, n)
    print(f"c2 = {c}\nn2 = {n}")
    p = getStrongPrime(1024)
    q = getStrongPrime(1024)
    n = p*q
    c = pow(m, e, n)
    print(f"c3 = {c}\nn3 = {n}")

然后一个输出结果

c1 = 17539961945253373331398829582415575036612590036028757160772244972941908466194620745487023767352926635453129673400947551800570434953767905902511379295345136570451295489004354977126089417697594812125862100295615892308145313262857527278337604392345816174840378652211171638690235768088513635252024385701456197867071483547776503865408409665095139733362063385643440859866760991522192617240460504557499194128504331507032560630787690799469014901580657128316778018414925198950809650404230359744912206082228624165856464258230573588957481525576839241810430236093217199856740231709797084566663183618816179247665234718539862375401
n1 = 25954427034636580488688831489560115961069472666415079273188034049008164292940982483612692501107292736442028702125249540852911969436468068247311640975480854492713351976176525107812421379597665083397176515413434794308159396038186056408397306479209393999454750519928895047459076589767348484006913759151416548823334675582153771760249016389971299782988978062163676178221833040970770232195936409272958856175588744276987268446839438228569198582572605622120469636250653620089140773532878971104036436080460912344807135105729626088120725564796123320176046591333153953156273882667280324378550802455223461937451841750073937989983
c2 = 19539433379216375750218779547809435082376062229344477092200871020606061269432023167855101557680750544416015137722429840602008656509188763841543689135752445081445085769419299442034779615280240976402031241423972293205872765805658756654762675178901338870755503879710815288905412632689902066516703213400579816331631896382153898787960802955572920035926336038746837415149996536394565793517378707048820536682814580494351837890938696637346974833887793018590409840667797035121476421376800944840299969820809315976451914567085976886787797952235847848303316051413592902451221192422759665784806839017636325833553952683415622277952
n2 = 28977092400787747945291214910953475539397234633352432488666947740932896707746402087821613046855183575993557568941158781622249869105260289295489171383139731429934283214540710808914967126144590911898223369390321872883938655216721369282084455732783931981613818631966554624868638800456323235693804356430288896569110909336549599272178314914621792570786164871693373909365501287006142071973005860686344874538143943409429678311737686588867879332895264597392666663429379812688533242656808653123802278526421662344107299830146336834937141923350992781402666027186207135144811802279179093695687133335834251524227256015307192667513
c3 = 2918771551109062192743205470533564743530056495509371083790131677186017377366876762293882312559301769357307295816292413881152560132690342974420494635750769296910584532596145872019444918884467672570317268685540399444720264635786588214509564818842868742697904854444519509240580449289880213055809856384077365925988427171564956047955329734920817815060202824430450606090801964935340359511488077057357948109798343529542672715979068275244032300296615263045889742363640538553080156092612057664163330784377800571208069910607577769286608705780510252727167158433741629217121035911007985869067181230135673920332673026493205578621
n3 = 24190274092630151926687108793524797704176150214559782896709114566936770947792315485598948092406603301001115324838577933772803761602741194516662266729209957846204581131810722907796267901163277374210255586883616164601148068628640292710177535651254874024209722605833909278514127991673090395029685984076324965718786722675755176835689645547154439390446344335367504783824259324152050501491588000676038321288448646330542896345041295625635250852659692178192868571083100117948063254735996935227555828339364201830194807935109124187509333776751082631706013914267005054512697140686858570500070125114765551217478594770260412263351

首先我们可以从这个代码中得到这样的一个方程

\[m \equiv c_1 \pmod{n_1} \\ m \equiv c_2 \pmod{n_2} \\ m \equiv c_3 \pmod{n_3} \]

这个方程我们一看就是可以用中国剩余定理的求解程序来解决

#!/usr/bin/env python
from functools import reduce
import sys
import math
sys.setrecursionlimit(1000000) #1000000 为设置的栈大小
#gcd,求最大公约数函数，递归算法，有了扩展欧几里得算法之后，此函数可以不用
def _g_c_d(a,b):
  if 0==b:
    return a
  return gcd(b,a%b)
 
#扩展欧几里得算法,返回值列表中,x是a的逆元(mod b),q是gcd(a,b),若x是0,则表示没有逆元
#y是计算过程中的迭代的参数,可以不用管
#此算法实质上是广义欧几里得除法的逆运算,用递归可以体现出这个逆运算的过程
def Ex_Euclid(a,b):
  if 0==b:
    x=1;y=0;q=a
    return x,y,q
  xyq=Ex_Euclid(b,a%b)
  x=xyq[0];y=xyq[1];q=xyq[2]
  temp=x;x=y;y=temp-a//b*y
  return x,y,q
 
#获取a的逆元(mod b)的函数，目的是为了封装获取逆元的功能
def Get_Inverse(a,b):
  return Ex_Euclid(a,b)[0]
 
#获取a和b的最大公约数函数，目的是为了封装获取最大公约数的功能
def gcd(a,b):
  return Ex_Euclid(a,b)[2]
 
#判断所有的mi是否两两互质
def Is_Coprime(m_list):
  for i in range(len(m_list)):
    for j in range(i+1,len(m_list)):
      if 1!=gcd(m_list[i],m_list[j]):
        return 0  #返回0表示不是两两互质的
  return 1  #返回1表示是两两互质的
 
#获取所有的Mi
def Get_Mi(m_list,M):
  Mi_list=[]
  for mi in m_list:
    Mi_list.append(M//mi)
  return Mi_list
 
#获取所有的Mi的逆元
def Get_Mi_inverse(Mi_list,m_list):
  Mi_inverse=[]
  for i in range(len(Mi_list)):
    Mi_inverse.append(Get_Inverse(Mi_list[i],m_list[i]))
  return Mi_inverse
 
#中国剩余定理,返回值为最终的x
def C_R_T():
  while True:
    #两个空列表，分别用来保存mi和bi
    m_list=[]
    b_list=[]
    
    while True: #输入mi
      m_i=input("请输入mi,以'.'结束输入:")
      if m_i=='.':
        break
      elif False==m_i.isnumeric():
        print("输入有误，请输入数字:")
        m_i=input()
        continue
      else:
        m_list.append(int(m_i))
    
    while True: #输入bi
      b_i=input("请输入bi,以'.'结束输入:")
      if b_i=='.':
        break
      elif False==b_i.isnumeric():
        print("输入有误，请输入数字！\n")
        b_i=input()
        continue
      else:
        b_list.append(int(b_i))
    
    if len(m_list)!=len(b_list):
      print("错误！mi的个数和bi的个数不相同，请重新输入\n")
    elif 0==Is_Coprime(m_list):
      print("错误！输入的mi并不是两两互质的，请重新输入mi\n")
    else:
      break
  
  M=1 #M是所有mi的乘积
  for mi in m_list:
    M*=mi
  
  Mi_list=Get_Mi(m_list,M)
  Mi_inverse=Get_Mi_inverse(Mi_list,m_list)
  x=0
  for i in range(len(b_list)):  #开始计算x
    x+=Mi_list[i]*Mi_inverse[i]*b_list[i]
    x%=M
  return x
 
if __name__=='__main__':
  print("同余式组的解为：x=%d" % C_R_T())

上面这个程序提示输入 mi 的时候依次输入 n1 n2 n3 (除数) 提示输入 bi 的时候输入 c1 c2 c3（余数）

最后得到结果

13300111372637798836274976682144446509249794411171607231640782913245024173962466004292866985899729515808184933243237326004265637144765366861084718602875719527046873973359778034344146364012933067459384416621759467127821535377201109408331587913873296647694635603042192149698759322765328687652278208955183403077834629074089263092559468278392142063653712833649825799471418185195013022018496220617491452938072824035167931991183649387408139606194566747383443816272040215588825127855198539624005305754876178598872414420646223633314181764188358947904734577809610534805388737695068419034529721647865993400155405434082802625126299880466501676428337217444066497292225119328808196107193774854486141759870113608597589672237612091931089778968950797586565210403183163252658223652812196847281238844204951051419182479556217362993824614939179736342014536633342096306781633729610353231878979280868735934512936546633439381984121607130961777082332302552495730333385926449294917228954165038846331324617025953125

最后我们对这个数开三次方，然后就可以还原出原来的句子了。开三次方可以采用二分法，这样就能秒出结果。最后从 m 还原出字符串看程序就可以了

from math import pow
from time import sleep
x = 13300111372637798836274976682144446509249794411171607231640782913245024173962466004292866985899729515808184933243237326004265637144765366861084718602875719527046873973359778034344146364012933067459384416621759467127821535377201109408331587913873296647694635603042192149698759322765328687652278208955183403077834629074089263092559468278392142063653712833649825799471418185195013022018496220617491452938072824035167931991183649387408139606194566747383443816272040215588825127855198539624005305754876178598872414420646223633314181764188358947904734577809610534805388737695068419034529721647865993400155405434082802625126299880466501676428337217444066497292225119328808196107193774854486141759870113608597589672237612091931089778968950797586565210403183163252658223652812196847281238844204951051419182479556217362993824614939179736342014536633342096306781633729610353231878979280868735934512936546633439381984121607130961777082332302552495730333385926449294917228954165038846331324617025953125

l = 0
r = x
mid = 0

while l <= r:
	mid = int((l + r) >> 1)
	# print(mid) # debug
	# sleep(0.001)
	if mid * mid * mid == x:
		#print(mid)
		break
	elif mid * mid * mid < x:
		l = mid + 1
	else:
		r = mid - 1

ans = mid
ansArr = []
while ans != 0:
	ansArr.append(chr(ans % (2 ** 8)))
	ans = ans >> 8

len = len(ansArr)
for i in range(len - 1, -1, -1):
	print(ansArr[i], end='')
print()