为什么0.1无法被二进制小数精确表示？

这个问题困扰了我不少时间，最近有个比较清晰的认识，和大家分享。

这个问题首先要从数位表示法说起。今天我们看到的 123 这样的十进制数，是自然而然的理解其意义，但是有没有深究其内在的数学原理呢？

所谓十进制是 $0 \dots 9$ 十个基本符号为基础的一种数字表示法，数位表示法是将一串基本符号从左到右连续排列的一种方法。为什么 12 是表示一十二，而不是二十一，或者是一加二的意思呢？因为数字所处的位置是有特别意义的，最右边第一个数字符号，代表基本的数 $0 \dots 9$ ，而第二位的意义并不是 $0 \dots 9$ ，而是 $0 \times 10 \dots 9 \times 10$ 。推而广之，百位是 $x \times 100$ ，（x是符号），用简练的数学公式就是 $x \times 10^{k}$ , 个位 k 是 0，十位是 1，百位 k 是 2，从右到左一直数下去。123 的意思就是 $1 \times 10^{2} + 2 \times 10^{1} + 3 \times 10^{0}$ 。

位置，进制，符号这三者的关系就是“123”这种数字表示法内在的数学原理。

那么，0.1 是什么意思？是 $1 \times 10^{- 1}$ ，向右数数的结果。小数点是为了区分个位的位置在哪里。

一个数要用“数位表示法”表示出来，必然需要能够化为 $x \times 10^{k}$ 的形式，而并不是任意数都能够做到。从数位法小数的定义看可以得知，一个数要能够被表示出来，需要能除尽 10，才有若干个 $x \times 10^{k}$ 的数位组合表示它，否则就是无数个符号才能表示。如 $\frac{1}{3}$ 这个数除以 10 等于 $\frac{1}{3} \times \frac{1}{10} = 0.0333333 \dots$ 循环小数。

究竟哪些数可以用十进制表示哪些不可以？如分母是 10 的因子和因子的合数，如 1，2，5，10，20，50 等（整数分母为 1，而任意大于 1 的数的因子都有 1 和自身，因此整数可以用任意数制精确表示）。

回答题目，为什么 0.1 无法被二进制小数表示，0.1 即 $\frac{1}{10}$ 这个数要转换成二进制即 $x \times 2^{k}$ 的组合数，必须要除尽 2.要注意，2 进制只有 0、1 两个符号，另一个需要注意，二进制被除数右移一位等于 $\times 2$ ，而非十进制的 $\times 10$ 。

$\frac{1}{10} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{20}$
$1 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32$ 右移5位
$32 - 20 = 12$ 商1
$12 \times 2 = 24$ 右移1位
$24 - 20 = 4$ 商1
$4 \times 2 \times 2 \times 2 = 32$ 右移3位
$32 - 20 = 12$ 商1 可见数字重复了，循环小数无疑