和数位有关的几个问题（称重等）

映射是一个很简单很实用的数学技巧，用得好经常能达到清晰明了的效果。

其中，映射到整数是经常用到的。

映射简单的离散量比较平凡，如果映射能结合序列可以做到很不一般的效果。

比如最近做过的一道题目：1000瓶水，其中一瓶有毒，小白鼠喝了一个星期死亡，要多少只小白鼠才能在一个星期内找到这瓶水？

思路一、1000瓶水映射到小白鼠，大概就要1000个吧，死哪个老鼠，自然知道是哪一瓶水。

思路二、以上映射做得很基础，得到的答案虽然是对的，但答案比题目要求的要多很多信息。题目要求知道那一瓶水有毒，需要知道的是一瓶的情况，而不是1000瓶的状态是有毒还是没毒的。这里面没有充分利用“只有一瓶有毒”这个信息。

要知道哪一瓶有毒，关键是如何识别这个瓶号，瓶号映射到小白鼠的状态之下便可。

小白鼠的状态只有两种：一种是喝了这瓶水，一种是没有喝这瓶水；即0或者1. 那么解题的思路就是将1000映射到0，1这个状态之上，单个0，1当然无法表示1000这么大的数，因此就需要组合一个0，1序列，就类似二进制编码的方式。状态单元是2，k个状态单元可表示的数是2^K 。2^10=1024 > 1000, 因此只需要K>=10便能映射0~1000的不同编码。也就是只需要10个小老鼠。

例：

矿泉水瓶1,2,3,4,5,6,7,8,

老鼠A：01010101

老鼠B:  00110011

老鼠C:  00001111

0表示不喝，1表示喝，将老鼠ABC对应的数字连起来会发现这个编码是独一无二的，也就是任何一瓶有毒，会死掉的老鼠的组合都是不同的，也许死一只，也许死两只，也许一只不死，总之必然不同。根据老鼠死掉的情况，翻查这个表格就能知道是哪瓶有毒了。因此，也就是达到映射的效果。

要点总结：

一、找到关联点，老鼠喝水，中毒死亡

二、是否找唯一性，如1000瓶中的一瓶

三、状态单元是什么？老鼠喝水，和没喝水

四、如何组合状态单元？这里关联唯一性用进制编码的方式颇为有效。

 

题目二：有27个铁球中有一个比较轻，用天平3次找出这个球，有什么方法？

思路一、一次排除一半可能是大多数人想到的第一种方式。

思路二、一次可排除2/3。首先分成3部分，称重，如果相同，自然剩下那一组；如果不同，自然是轻的那一组。

思路三、在称一次后，铁球有三种状态，要么是可能轻的，要么是可能重的，要么是标准球（平凡球）。

000000000111111111222222222

其中0是轻的，1是重的，2是标准的，这道题1也是标准的。以上是第一轮的可能结果。

称A：000000000111111111222222222

称B：000111222000111222000111222

称C：012012012012012012012012012

以上是三次称了之后的典型结果（其他结果必然不比这个要难，即可以变形到这个结果或者比这个结果要容易）。

首轮是将27个分三份称，做好标记（0，1，2），第二轮是将这三份每一小份再分三小份，不同组各取一份放一边，各取另一份放另一边称。第三轮依此类推，继续将每一小份分三份，结合这三次的每个球的编码都是不同的。这有什么用？说明每一个球都已经和称的结果一一对应起来了，特殊球必然也被唯一的结果所对应。

问题哪个结果才是对应特殊球的？因为每个球的编码都是不同，也就是任意一个球的称重都是确定的，要么是标准球，要么就是重球（也是标准球）。而一个轻球不会变成一个重球，一个重球也不会变成一个轻球，那些变动的数码，说明了它不是不是特殊球，而是被特殊球影响到称重结果的标准球（如特殊球在同一边导致它变轻，在另一边导致它变重）。始终不变的球只有两个，000和111。根据题意，轻的是我们要找的特殊球。

 

要点总结：

一、题目提到“3”是解题的突破点，为何3次就能解决这个问题？27/3=9/3=3=1，自然而然就会联想起把球和称重结果对应起来。

 

题目三：有12个球中有一坏球和其他球不一致，用天枰3次找出这个球，有什么方法？

称A：000011112222

构造：02220011，011

称B： 00001111

构造：0122，1

称C： 1100

称A的结果需要导入标准球2，构造成三部分00，011，011，任意一部分都能一次称完得到结果。

02220011称得到0001111得到数码不变的011这个结果（其中一个，其他类似）。

然后导入标准球构造成两部分，01，1。

0122称得到1100.即1是最终的结果，是重球。