分而治之算法

算法是问题的分步骤解决的方法。

 

分而治之的思想是：有很多问题，可以划分为多个小问题，而小问题本身是易于解决的，那么就通过找到”划分方法“，得到小问题后，最终解决原问题。

一、是否所有问题都能划分成小问题？

比如1+1=？可以划分么？不行。因此并不是所有问题都能够划分。

二、怎样的问题能够划分？

和规模n相关的，可以划分成每一个节点，或者某一小段，形成可以直观解决的小问题。就如一条长的线段，分成若干定长的小段，进而解决所有问题。如，一个平面，可以划分为若干小区域，也是一样的道理。只要具备规模性，不是原子性的问题，都能够划分成小的问题。

三、划分的方式有什么分别？

我觉得有三种划分问题的方法，第一种，是根据问题的特点，划分为不同的子问题，每个子问题就是其中一个步骤。大多数数学的应用题都是这样。

第二种，划分成子节问题和剩余问题，而这个划分方式可以重复应用到剩余问题之上。也就能够找出简单的子问题，并且证明剩余问题是重复的简单问题的集合。

特点就是子问题是相似并重复的，不像第一种那样需要针对每个子问题做不同的解答。

第三种，混合一二两种情况。

四、分而治之的重点是什么？

第一就是看是否能够发现重复的子问题，能否发现大问题存在的循环子结构，如果发现就把原问题转化为很简单的小问题。

第二，是否能划分步骤（不同步骤不同解决方法），因为单个步骤往往比整个问题解决起来要简单很多。

第三，子问题是否很容易解决，如果子问题都解决不了，那么划分还有啥意义？

 

比如一个规模为n的问题，可以划分为1 和 n-1 两个部分，其中1是易于解决的。而n-1这个剩余部分可以用相同的划分方式分成1 , n-2两部分；重复这个过程，最终解决所有问题。

也可以划分成n/2 和 n/2 两部分，然后对两个部分继续划分，最终都会成为一个1的简单问题。