排列组合学习要点

 

一、语言习惯的问题

排列和组合的差别是，排列的元素与位置有关，而组合的元素对位置无要求。我们的日常问题绝对不会出现这样的问法：某组元素的排列数是什么？

不管是排列还是组合，日常用语都会用“组合”这个词，因此我们要分析一个问题是排列还是组合，要基于问题的前提，分析元素的位置是不是问题需要考虑的因素，如果元素位置不是问题所关心的，那么这个就是组合，否则就是排列。

为了顾及语言上的误导性，一般专业的数学题都不会在涉及排列的时候出现“组合”二字，因为“排列”或者“组合”都是经过数学严格定义的术语。这造成学生只能针对数学问题做解答，而对于没有用语暗示的现实问题，往往就缺乏分析能力。

 

二、 排列的两种方法

分类法：根据不同情况分析每一种情况的种类个数，然后累加所有情况，自然就是问题的解。每一种情况必须是独立的，不相互涵盖的，所有分类的总和必须是问题的全部情况。

分步法：分步法基于分类法的思想，分析每一种情况，但是每一种情况由几个独立部分相继组成。

假设一种情况有两步，第一步有三种选择，第二步有两种选择，那么总共的可能路线就有3*2种。第二种情况有一步，第一步有五种选择，那么就是五种路线。结合一起就是3*2+5=11种。分类法是一个步骤的分步法，是特殊情况。分步法的每一步都是分类法，是分类问题多次组合。

分类法是研究一个分步种的分类情况，也就是一步中的所有情况都应该相互独立，并且总的分类应该是所有可能的情况。 简而言之的要求是独立而全面。

而分步法是研究一个完整的路线所需要的步骤，步骤之间应该独立，连续有次序，并是解决问题的一个情况的完整路线。简而言之就是要求连续而完整。

如果把一个问题的解集表述成一个表格，分类研究的是每一列的情况，而分步研究的是每一行的情况。当然，每一步的分类个数未必是相同的，每一分类的步骤数也未必是相同的。

 

三、元素

问题经常会罗列元素，但是会添加一定的条件约束。

元素的一般含义就是分类，即每一种类，每一情况。而条件约束实际上是要求你重新划分种类。 因此不能光被问题所罗列的元素迷惑了，根据条件约束用分类法重新定义元素的个数。

 

四、位置

问题经常会让你把元素按照位置排列，每一个位置其实就是一个步骤。每个步骤需要考虑的元素总数一般是不相同的。

位置比元素更有迷惑性，因为位置可能是隐含的，不会直接告诉你总共有几个位置，需要你自己分析出来。

 

五、局部和整体

分类的局部是累加为整体。

分步的局部是类乘为整体。

 

六、理解排列数和组合数

（一）基础

n个元素取m个元素

排列数：第一步取一个，可以有n个可选；第二步取一个，可以有n-1个可选（因为上一步取走了一个）；总共有m步，那么就是A(m,n) = n(n-1)(n-2)(n-3)...= n!/(n-m)!  。 m是取的个数, n-m就是要去除的个数（用除法去除），如果m=n,那就是全排列。

组合数：在排列数的基础上，去除顺序相同的部分。顺序相同的部分怎么知道？ A(m,n) 的结果就是取m组元素（每组个数不一样），然后进行全排列，也就是m!，那么我们想知道没有排列之前的情况，也就是无重复的组合数就是C(m,n) = A(m,n)/m! = n!/( (n-m)!*m! ).

排列数转化为组合数只需要除以m! ,反之组合数要转换为排列数就是乘以m!，可见m!就是排序因子，可以帮助我们随意转换。

 

（二）平均分堆问题：

n个元素，平均分m堆，每堆k个

每一堆为一步，而每一堆的每一个位置又是一小步。

从元素列表中取k个元素的m堆，也就是 A(m, X)，其中X 未知，解法是：

首先第一堆是 A(k,n)，而第二堆问题是 A(k,n-k) ,第二个问题可以选择的元素就要少k了，因此第m堆等于A(k,n-(m-1)k).

A(k,n)A(k,n-k)A(k,n-2k)...A(k,n-(m-1)k) 就是所有的排列数。

 

而平均分堆需要知道的是组合数，那么就是C(m,x) = A(m,x) /m!:

然后每一堆都要求得它对应的组合数。

第一堆的组合是C(k,n) = A(k,n)/k! ,第二堆 C(k,n-k) = A(k,n-k)/k!...C(K,n-(m-1)k) = A(k,n-(m-1)k)/k!

累乘之后就是C(k,n)...C(k,n-(m-1)k) 对应公式A(m,x) 部分；

最后套最终公式就是c(m,x) = A(m,x) /m! = ( C(k,n)...C(k,n-(m-1)k) ) / m! .

每一堆自身需要求对应的组合数，而所有堆的结果也要除以m! 取得对应的组合数。

组合数的公式都是基于排列数得到的，而排列数的公式是有逻辑基础，易于掌握的（也就是从n个元素取m个数的机械操作），因此应该首先找出对应的排列数，再根据公式推导得到对应的组合数。

有时候不知道元素个数也无所谓的，只需要知道取数个数，就能转换组合数和排列数。

 

有些问题需要得到平均分堆组合数后，又提出新的要求，那就是按顺序分配。这个等价于：组合数为元素个数n，取位置数m的排列数问题。

非平均分堆问题，而是按特定比例分配，如：2：2：3：3：5 这个比例分配，m! 的值应该如何取？

这个需要结合分类法，因为比例不同的分组总是不同的组合，而比例相等的组合有不同的排列（相同比例的元素可以相互替换，得到组成结构不变但是内部顺序变化的新排列）。

把元素组合分为3类，一类是2，一类是3，一类是5。其中类2的数目是2，也就是m1 = 2；以此类推，m2= 2，m3 = 1。

问题可以转化为，先求类2的情况：c (2,x)  /m1, 然后求类3：c(3,x)/m2, 类5 ： c(5,x)/m3.

综合： m! = m1! * m2! * m3!

（三）插空法：

插空法是首先建立一般队列，然后插入特殊元素的方法。首先是需要建立一个合理的分类，将一般和特殊元素进行分组。

如7个元素，5个无约束，2个不允许相邻。

5个元素可以自由排列，但是2个应该分开，第一步建立好任意排列的5个元素后，再插入2个元素，5个元素的队列可以选择插入6个位置，并且第一个插入和第二个插入的位置是相互独立的，相当于6个元素放在两个位置上，也就是A(2,6)。

总结： A(5,5) * A(2,6).

分组元素需要考虑完整性，把7个元素分成5个和2个两组，但是问题是求7个元素的排列，那么这两组的关系应该是“分步法”。第二是需要考虑元素的一般性，不要用特殊情况去分析一般性的元素排列，5个一般元素的组成的某一个特殊排列，都能代表这5个元素的一般性排列，因为两个特殊元素考虑的是双方的关系，和5个一般元素无关。如果把其中一个特殊元素并入5个一般元素去考虑，那么就无法插入第7个元素，因为任意一个位置上的数都可能就是特殊元素。通过建立合理的模型，就可以将两类元素进行正确的分步法。这也是独立性思想的一个例子，分类分组都必须要考虑到元素的独立性，建立一个不相互干涉的分类和分步。

（四）捆绑法

捆绑法是将特殊元素捆绑成一个独立元素，和一般元素进行排列。

如7个元素，5个无约束，2个必须相邻。

首先分成两组，5个无约束一组，2个特殊一组，第二组可以作为一个整体插入到五个元素的任意位置，也就是可以类似插空法那样 A(2,2)*A(1,6)*A(5,5) ；也可以把2个元素形成一个一般元素后，组成6个一般元素的解，A(2,2)*A(6*6) 。

（五）消序法

消序法一般是去除一部分的有序，因此先求的总体的排列数，然后除以局部的排列数，就可以得到最后要的结果。如果是整体消序就是排列数和组合数之间的转换。

如7个元素，5个无约束，剩下两个的甲必须在乙左边。

消序法是A(7,7) / A(2,2).

消序法的方式很简单，但是难以理解，需要结合组合数的基础知识。

消序法和分堆的思想有共通的地方，可以把需要消序的和不需要消序的分成两堆，然后得到C(2,7)*A(5*5).

（六）剪截法

如7个元素，任意分成3组，每组至少一个，有几种组合？

相当于7个元素的队列的间隔内（6个中间间隔），任意截断2次，即C(2,6) = 21.

这种问题本质上也是基础问题，只是需要做思维转换。

（七）