【算法】2 由股票收益问题再看分治算法和递归式
回顾分治算法
分治算法的英文名叫做“divide and conquer”，它的意思是将一块领土分解为若干块小部分，然后一块块的占领征服，让它们彼此异化。这就是英国人的军事策略，但我们今天要看的是算法。
如前所述，分治算法有3步，在上一篇中已有介绍，它们对应的英文名分别是：divide、conquer、combine。
接下来我们通过多个小算法来深化对分治算法的理解。
二分查找算法
问题描述：在已排序的数组A中查找是否存在数字n。
1）分：取得数组A中的中间数，并将其与n比较
2）治：假设数组为递增数组，若n比中间数小，则在数组左半部分继续递归查找执行“分”步骤
3）组合：由于在数组A中找到n后便直接返回了，因此这一步就无足轻重了
平方算法
问题描述：计算x的n次方
我们有原始算法：用x乘以x，再乘以x，再乘以x，一直有n个x相乘
这样一来算法的复杂度就是
分治算法：我们可以将n一分为二，于是，
当n为奇数时，
当x为偶数时，
此时的复杂度就变成了
斐波那契数
斐波那契数的定义如下：
当然，可以直接用递归来求解，但是这样一来花费的时间就是指数级的
然后我们可以更进一步让其为多项式时间。
上面这幅图虽然比较简略，在求n为6时的斐波那契数，我们却求解了3次F3，F1和F0的求解次数则更多了，我们完全可以让其只求解一次。
对此，还有一个计算公式：
其中
然后这个公式只存在与理论中，在当今计算机中仍旧无法计算，因为我们只能使用浮点型，而浮点型都有一定的精度，最后计算的时候铁定了会丢失一些精度的。
下面再介绍一种平方递归算法：
一时忘了矩阵怎么计算成绩，感谢@fireworkpark 相助。
最大子数组问题
最近有一个比较火的话题，股票，那么这一篇就由此引入来进一步学习分治算法。在上一篇博客中已经对插入排序和归并排序做了初步的介绍，大家可以看看：【算法基础】由插入排序看如何分析和设计算法
当然了，这篇博客主要用来介绍算法而非讲解股票，所以这里已经有了股票的价格，如下所示。
| 天 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 股票价格 | 50 | 57 | 65 | 75 | 67 | 60 | 54 | 51 | 48 | 44 | 47 | 43 | 56 | 64 | 71 | 65 | 61 | 73 | 70 |
| 价格波动 | 0 | 7 | 8 | 18 | -8 | -7 | -6 | -3 | -3 | -4 | 3 | -4 | 13 | 10 | 7 | -6 | -4 | 12 | -3 |
价格表已经有了问题是从哪一天买进、哪一天卖出会使得收益最高呢？你可以认为在价格最低的时候买入，在价格最高的时候卖出，这是对的，但不一定任何时候都适用。在这里的价格表中，股票价格最高的时候是第3天、价格最低的时候是第11天，怎么办？让时间反向行驶？
就像我以前参加学校里的程序设计竞赛时一样，也可以用多个for循环不断的进行比较。这里就是将每对可能的买进和卖出日期进行组合，只要卖出日期在买进日期之前就好，这样在18天中就有
然后，我们在学习算法，自然要以算法的角度来看这个问题。比起股票价格，我们更应该关注价格波动。如果将这个波动定义为数组A，那么问题就转换为寻找A的和最大的非空连续子数组。这种连续子数组就是标题中的最大子数组（maximum subarray）。将原表简化如下：
| 数组 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| A | 7 | 8 | 18 | -8 | -7 | -6 | -3 | -3 | -4 | 3 | -4 | 13 | 10 | 7 | -6 | -4 | 12 | -3 |
在这个算法中，常常被说成是“一个最大子数组”而不是“最大子数组”，因为可能有多个子数组达到最大和。
只有当数组中包含负数时，最大子数组问题才有意义。如果所有数组元素都是非负的，最大子数组问题没有任何难度，因为整个数组的和肯定是最大的。
使用分治思想解决问题
我们将实际问题转换为算法问题，在这里也就是要寻找子数组
1）完全位于子数组
2）完全位于子数组
3）跨越中点
FIND-MAX-CROSSING-SUBARRAY(A,low,mid,high)
1 left-sum = -10000
2 sum = 0
3 for i = mid downto low
4 sum = sum + A[i]
5 if sum > left-sum
6 left-sum = sum
7 max-left = i
8 right-sum = -10000
9 sum = 0
10 for j = mid + 1 to high
11 sum = sum + A[i]
12 if sum > right-sum
13 right-sum = sum
14 max-right = j
15 return (max-left, max-right, left-sum + right-sum)下面是以上程序的一个简易程序。
#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
int const n=18;
int A[n]={7,8,18,-8,-7,-6,-3,-3,-4,3,-4,13,10,7,-6,-4,12,-3};
int B[3];
int low,high,mid;
int max_left,max_right;
int sum;
void find_max_crossing_subarray(int A[],int low,int mid,int high);
int main()
{
find_max_crossing_subarray(A,0,7,15);
for(int i=0;i<3;i++)
{
printf("%d ",B[i]);
}
return 0;
}
void find_max_crossing_subarray(int A[],int low,int mid,int high)
{
int left_sum=-10000;
sum=0;
for(int i=mid;i>=low;i--)
{
sum=sum+A[i];
if(sum>left_sum)
{
left_sum=sum;
max_left=i;
}
}
int right_sum=-10000;
sum=0;
for(int j=mid+1;j<=high;j++)
{
sum=sum+A[j];
if(sum>right_sum)
{
right_sum=sum;
max_right=j;
}
}
B[0]=max_left;
B[1]=max_right;
B[2]=left_sum+right_sum;
}
如果子数组
可以看出上面的算法所花费的时间是线性的，这样我们就可以来求解最大子数组问题的分治算法的伪代码咯：
FIND-MAXIMUM-SUBARRAY(A,low,high)
1 if high==low
2 return (low,high,A[low])
4 (left-low,left-high,left-sum)=FIND-MAXIMUM-SUBARRAY(A,low,mid)
5 (right-low,right-high,right-sum)=FIND-MAXIMUM-SUBARRAY(A,mid+1,high)
6 (cross-low,cross-high,cross-sum)=FIND-MAX-CROSSING-SUBARRAY(A,low,mid,high)
7 if left-sum>=right-sum and left-sum>=cross-sum)
return (left-low,left-high,left-sum)
8 else if(right-sum>=left-sum and right-sum>=cross-sum)
return (right-low,right-high,right-sum)
9 else return (cross-low,cross-high,cross-sum)只要初始调用FIND-MAXIMUM-SUBARRAY(A,1,A.length)就可以求出
分析分治算法和渐近记号中的省略问题
下面我们又来使用递归式来求解前面的递归过程FIND-MAXIMUM-SUBARRAY的运行时间了，就像上一篇分析归并排序那样，对问题进行简化，假设原问题的规模为2的幂，这样所有子数组的规模均为整数。
第1行花费常量时间。当n=1时，直接在第二行return后跳出函数，因此
当n>1时，为递归情况。第1行和第3行都花费常量时间，第4行和第5行求解的子问题均为n/2个元素的子数组，因此每个子问题的求解总运行时间增加了2T(n/2)。第6行调用FIND-MAX-CROSSING-SUBARRAY花费
在上面的步骤中，将
回顾前面n=1的情况，第一行花费了常量时间，第二行同样也花费了常量时间，但这两步花费的总时间却是
但是为什么第4行和第5行中却是
如果省略了这个因子2会发生什么呢？不要以为就是一个2这么小的数而已哦，后果可严重了，看下图……左侧是一棵4层的树，右侧就是因子为1的树（它已经是线性结构了）。
总结来说，渐近记号都包含了常量因子，但递归符号却不包含它们。
借助递归树求解递归式
前面我们已经看到了递归式，也看到了递归树，那么如何借助递归树来求解递归式呢？接下来就来看看吧。
在递归树中，每个结点都表示一个单一问题的代价，子问题对应某次递归函数调用。
通过对树中每层的代价进行求和，就可以得到每层的代价；然后将所有层的代价求和，就可以得要到所有层次的递归调用的总代价。
我们通常用递归树来得出一个较好的猜测结果，然后用代入法来证明猜测是否正确。但是通过递归树来得到结果时，不可避免的要忍受一些”不精确“，得在稍后才能验证猜测是否正确。
因为下面的示例图太难用键盘敲出来了，我就用了手写，希望大家不介意。
如下所示，有一个递归式，我们要借助它的递归树来求解最终的结果。前面所说的忍受“不精确”这里就有2点：
1）我们要关注的更应该是解的上界，因为我们知道舍入对求解递归式没有影响，因此可以将
2）我们还将
图a所示的是
这棵树有多高（深）呢？
我们发现对于深度为
有了深度还需要计算每一层的代价。其中每层的结点数都是上一层的3倍，因此深度为
因此对于
递归树的最底层深度为
至于这最后的
不知道大家看不看得清，上面的两行文字是“我们要证的是
写一篇博客本来不会这么漫长的，可是这是算法，结果就不一样了……
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