【题解】 [HNOI2005]狡猾的商人（差分约束）

题面懒得复制，戳我戳我

Solution:

• 其实这个差分是挺显然的，我们可以用\(s[i]\)表示从第\(1\)到\(i\)中间的收入和
• 重点就在式子，比如读入\(a\),\(b\),\(c\)，显然可以得到一个式子：$$s[b]-s[a-1]==c$$把这个式子变成不等式就是$$s[b]>=c+s[a-1]$$$$s[b]>=c+s[a-1]$$第二个式子又可以转换成$$s[a-1]<=-c+s[b]$$这就显然是从\(a-1\)连向\(b\)一条长度为\(c\)的边，从\(b\)连向\(a-1\)一条\(-c\)的边
• 然后我们就可以跑\(SPFA\)了，这有一点就是，因为要满足所有条件，每天的收入是固定的，我们就只用如下操作：更新至的点如果为\(INF\)（初值），就更新，否则判断是否符合边的条件要求\(s[v]==s[u]+dis[u,v]\)（u为出发点，v为到达点）
• 我傻逼的没有清空\(vis\)数组，WA了无数次（太愚蠢了）

BTW:这题还可以用并查集，可以去思考丢个链接吧，Awson太强辣

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Code:

//It is coded by Ning_Mew on 3.29
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn=1000+10;

int T,n,m,INF;
int head[maxn],cnt=0,dist[maxn];
bool be[maxn];
struct Edge{int nxt,to,dis;}edge[maxn*2];

void add(int from,int to,int dis){
  edge[++cnt].nxt=head[from];
  edge[cnt].to=to;
  edge[cnt].dis=dis;
  head[from]=cnt;
}
int vis[maxn];
bool SPFA(int k,int ls){
  queue<int>Q;while(!Q.empty())Q.pop();
  vis[k]=ls;Q.push(k);be[k]=false;
  dist[k]=0;
  while(!Q.empty()){
    int u=Q.front();Q.pop();vis[u]=ls-1;
    for(int i=head[u];i!=0;i=edge[i].nxt){
      int v=edge[i].to;be[v]=false;
      if(dist[v]==INF){
        dist[v]=dist[u]+edge[i].dis;
        if(vis[v]!=ls){
          Q.push(v);
          vis[v]=ls;
        }
      }
      else{
   		if(dist[v]!=dist[u]+edge[i].dis)return false;
      }
    }
  }return true;
}
void work(){
  scanf("%d%d",&n,&m);
  memset(head,0,sizeof(head));
  memset(be,false,sizeof(be));cnt=0;
  memset(vis,0,sizeof(vis));
  for(int i=1;i<=m;i++){
    int a,b,c;scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
    add(a-1,b,c);be[a-1]=true;be[b]=true;
    	add(b,a-1,-1*c);
  }
  memset(dist,-0x5f,sizeof(dist));
  INF=dist[0];
  int ls=1;
  for(int i=0;i<=n;i++){
    if(be[i]==false)continue;
    //cout<<i<<endl;
    if(SPFA(i,++ls));else{
      printf("false\n");
      return;
    }
  }printf("true\n");
}
int main(){
  scanf("%d",&T);
  for(int i=1;i<=T;i++){work();}  
  return 0;
}