【题解】Luogu P2047 社交网络总结 （Floyd算法，最短路计数）
题目描述
在社交网络（social network）的研究中，我们常常使用图论概念去解释一些社会现象。不妨看这样的一个问题。在一个社交圈子里有n个人，人与人之间有不同程度的关系。我 们将这个关系网络对应到一个n个结点的无向图上，两个不同的人若互相认识，则在他们对应的结点之间连接一条无向边，并附上一个正数权值c，c越小，表示两 个人之间的关系越密切。
我们可以用对应结点之间的最短路长度来衡量两个人s和t之间的关系密切程度，注意到最短路径上的其他结点为s和t的联系提供了某种便利， 即这些结点对于s 和t之间的联系有一定的重要程度。我们可以通过统计经过一个结点v的最短路径的数目来衡量该结点在社交网络中的重要程度。
考虑到两个结点A和B之间可能会有多条最短路径。我们修改重要程度的定义如下：I(v)=∑(s<>v,t<>v)Cs,t(v) / Cs,t
令Cs,t表示从s到t的不同的最短路的数目，Cs,t(v)表示经过v从s到t的最短路的数目；则定义
为结点v在社交网络中的重要程度。
为了使I(v)和Cs,t(v)有意义，我们规定需要处理的社交网络都是连通的无向图，即任意两个结点之间都有一条有限长度的最短路径。
现在给出这样一幅描述社交网络s的加权无向图，请你求出每一个结点的重要程度。
输入输出格式
输入格式：输入第一行有两个整数，n和m，表示社交网络中结点和无向边的数目。在无向图中，我们将所有结点从1到n进行编号。
接下来m行，每行用三个整数a, b, c描述一条连接结点a和b，权值为c的无向边。注意任意两个结点之间最多有一条无向边相连，无向图中也不会出现自环（即不存在一条无向边的两个端点是相同的结点）。
输出格式：输出包括n行，每行一个实数，精确到小数点后3位。第i行的实数表示结点i在社交网络中的重要程度。
输入输出样例
4 4 1 2 1 2 3 1 3 4 1 4 1 1
1.000 1.000 1.000 1.000
说明
对于1号结点而言，只有2号到4号结点和4号到2号结点的最短路经过1号结点，而2号结点和4号结点之间的最短路又有2条。因而根据定义，1号结点的重要程度计算为1/2+1/2=1。由于图的对称性，其他三个结点的重要程度也都是1。
50%的数据中：n ≤10，m ≤45
100%的数据中：n ≤100，m ≤4 500，任意一条边的权值c是正整数，满足：1 ≤c ≤1 000。
所有数据中保证给出的无向图连通，且任意两个结点之间的最短路径数目不超过10^10。
Solution：
这道题目思路比较简单：
1.预处理出最短路，因为范围小，采用弗洛伊德算法预处理
2.处理出从i到j点中间最短路条数[这一步算是整个代码中的精华，也是最难的的一部分了吧（我认为的最难，蒟蒻哎ORZ）]
3.就是计算答案啦啦
然后呢，这题就是思考那个奇奇怪怪的计算式子了
I(v)=∑(s<>v,t<>v)Cs,t(v) / Cs,t
A.首先呢解释下这个式子：
a.(s<>v,t<>v) s!=v&&t!=v 很好理解吧
b.Cs,t(v) 是所有s到t的最短路中，经过v的条数
c.Cs,t 是从s到t的最短路条数
B.然后思路步骤一很简单，就不说了，不清楚可以自行问度娘
C.步骤二的方法有很多我知道有两种
a.在弗洛伊德求最短路时同时更新路径条数[我用的这种，真的好容易打%%%想出来这种方法的人]
1 for(int k=1;k<=n;k++)//枚举中间点 2 for(int i=1;i<=n;i++)//枚举开头 3 for(int j=1;j<=n;j++)//枚举结尾 4 { 5 if(dis[i][k]==INF&&dis[k][j]==INF)continue;//INF是初始化定义的最大值
6 if(dis[i][j]>dis[i][k]+dis[k][j])//满足更新条件 7 { 8 dis[i][j]=dis[i][k]+dis[k][j];//更新最短路径的值 9 edge[i][j]=edge[i][k]*edge[k][j];//更新最短路径条数 10 continue; 11 } 12 if(dis[i][j]==dis[i][k]+dis[k][j])//和已算出来的最短路长度相等 13 {edge[i][j]+=edge[i][k]*edge[k][j];}//累加路径条数 14 }//dis 长度 edge 条数
b.这种方法见我的另一篇博客，里面讲的很详细，这个代码打的重点在 求入度次数和拓扑排序
D.步骤三计算答案，这个重点就是在处理Cs,t(v)
1.dis[s][t]=dis[s][v]+dis[v][t] 这个很好理解吧 如果S-V的最短距离加上V-T的最短距离等于S-T的最短距离 那么V一定在S-T的最短路上
2.所以 Cs,t(v)= S-V的路径条数*V-T的路径条数
3.另外 要枚举所有的 S - T 注意式子的∑(s<>v,t<>v)
4.应该没了 顺便贴下我这部分的代码
1 for(int i=1;i<=n;i++) 2 { 3 for(int j=1;j<=n;j++) 4 for(int k=1;k<=n;k++) 5 { 6 if(i==j||j==k||i==k)continue; 7 if(dis[j][i]+dis[i][k]==dis[j][k]) 8 ans[i]+=(1.0*edge[j][i]*edge[i][k])/edge[j][k]; 9 } 10 }
最后，还要用拓扑排序的同学注意一点就是：重边，某点的入度被减为0[每有一条边指向点K，点K入度数减一，更新到K点路径条数]才能入队列，向下传递记录条数的数值。否则来一条边向下传一次，会使条数计算错误。[悲伤地是，我没改对这个注意的点，还是只有60分 ORZ][另一种方法过了]
贴一下整体AC代码吧
1 #include<iostream> 2 #include<cmath> 3 #include<cstdio> 4 #include<cstring> 5 #define LL long long 6 using namespace std; 7 int read() 8 { 9 int x=0;char ch=getchar(); 10 while(ch<'0'||ch>'9')ch=getchar(); 11 while(ch>='0'&&ch<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar(); 12 return x; 13 } 14 int n,m; 15 LL INF; 16 LL dis[100+10][100+10],edge[100+10][100+10]; 17 double ans[100+10]; 18 int main() 19 { 20 freopen("bestlink.in","r",stdin); 21 freopen("bestlink.out","w",stdout); 22 n=read();m=read(); 23 memset(dis,0x7f,sizeof(dis)); 24 memset(edge,0,sizeof(dis)); 25 INF=dis[1][1]; 26 for(int i=1;i<=m;i++) 27 { 28 LL x,y,z; 29 x=read();y=read();z=read(); 30 dis[x][y]=dis[y][x]=z; 31 edge[x][y]=edge[y][x]=1; 32 } 33 for(int k=1;k<=n;k++) 34 for(int i=1;i<=n;i++) 35 for(int j=1;j<=n;j++) 36 { 37 if(dis[i][k]==INF&&dis[k][j]==INF)continue; 38 if(dis[i][j]>dis[i][k]+dis[k][j]) 39 { 40 dis[i][j]=dis[i][k]+dis[k][j]; 41 edge[i][j]=edge[i][k]*edge[k][j]; 42 continue; 43 } 44 if(dis[i][j]==dis[i][k]+dis[k][j]) 45 {edge[i][j]+=edge[i][k]*edge[k][j];} 46 } 47 /* for(int i=1;i<=n;i++) 48 for(int j=1;j<=n;j++)cout<<i<<' '<<j<<' '<<edge[i][j]<<endl;*/ 49 for(int i=1;i<=n;i++) 50 { 51 for(int j=1;j<=n;j++) 52 for(int k=1;k<=n;k++) 53 { 54 if(i==j||j==k||i==k)continue; 55 if(dis[j][i]+dis[i][k]==dis[j][k]) 56 ans[i]+=(1.0*edge[j][i]*edge[i][k])/edge[j][k]; 57 } 58 } 59 for(int i=1;i<=n;i++) 60 printf("%0.3f\n",ans[i]); 61 return 0; 62 }
