区间DP训练
一、石子合并
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问题描述
- 将 n (\(1 \le n \le 200\))堆石子绕圆形操场摆放，现要将石子有次序地合并成一堆。规定每次只能选相邻的两堆合并成新的一堆，并将新的一堆的石子数，记为该次合并的得分。请编一程序，由文件读入读入堆数 n 及每堆的石子数。① 选择一种合并石子的方案，使得做 n -1 次合并，得分的总和最小 。② 选择一种合并石子的方案，使得做 n -1 次合并，得分的总和最大。
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输入格式
- 输入第一行为一个整数 n ，表示有 n 堆石子，第二行为 n 个整数，分别表示每堆石子的数量。
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输出格式
- 输出共 2 行，第一行为合并得分总和最小值，第二行为合并得分总和最大值。
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样例输入
4 4 5 9 4 -
样例输出
43 54 -
代码
#include <cstdio> #include <iostream> using namespace std; const int maxn = 205,MAX = 0x7fffffff/2; int f1[maxn][maxn],f2[maxn][maxn],s[maxn][maxn] = {0}; int a[maxn],sum[maxn] = {0},n,i,ans1,ans2; void init(); void dp(); int main() { init(); dp(); printf("%d\n%d\n",ans1,ans2); return 0; } void init() { scanf("%d",&n); for(i = 1; i <= n; i++) { scanf("%d",&a[i]); a[i+n] = a[i]; } for(i = 1; i <= n*2; i++) { sum[i] = sum[i-1] + a[i]; f2[i][i] = 0; f1[i][i] = 0; } } void dp() { int j,k,L; for(L = 2; L <= n; L++) for(i = 1; i <= 2*n-L+1; i++) { j = i+L-1; f1[i][j] = 0xfffffff/2; f2[i][j] = 0; for(k = i;k < j;k++) { f1[i][j] = min(f1[i][j],f1[i][k] + f1[k+1][j]); f2[i][j] = max(f2[i][j],f2[i][k] + f2[k+1][j]); } f1[i][j] += sum[j] - sum[i-1]; f2[i][j] += sum[j] - sum[i-1]; } ans1 = 0x7fffffff/2,ans2 = 0; for(i = 1;i <= n;i++) ans1 = min(ans1,f1[i][i+n-1]); for(i = 1;i <= n;i++) ans2 = max(ans2,f2[i][i+n-1]); }
二、能量项链
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问题描述
- 在 Mars 星球上，每个 Mars 人都随身佩戴着一串能量项链。在项链上有 N 颗能量珠。能量珠是一颗有头标记和尾标记的珠子，这些标记对应着某个正整数。并且，对于相邻的两颗珠子，前一刻珠子的尾标记一定等于后一颗珠子的头标记。因为只有这样，通过吸盘(吸盘是 Mars 人吸收能量的一种器官)的作用，这两颗珠子才能聚合成一颗珠子，同时释放出可以被吸盘吸收的能量。如果前一颗能量珠的头标记为 m，尾标记为 r，后一颗能量珠的头标记为 r，尾标记为 n，则聚合后释放的能量为 \(m * r * n\)(Mars 单位)，新产生的珠子头标记为 m，尾标记为 n。需要时，Mars 人就用吸盘夹住相邻的两颗珠子，通过聚合得到能量，直到项链上只剩下一颗珠子为止。显然，不同的聚合顺序得到的总能量是不同的，请你设计一个聚合顺序，使一串项链聚合后释放的总能量最大。
- 例如，设 N = 4，4 颗珠子的头标记与尾标记依次为(2,3)，(3,5)，(5,10)，(10,2)。我们用记号 \(\oplus\) 表示两颗珠子的聚合操作，\((j \oplus k)\) 表示第 j，k 两颗珠子聚合后所释放的能量。则第4，1 两颗珠子聚合后释放的能量为：\((4\oplus1) = 10×2×3 = 60\)。这一串项链可以得到最优价值的一个聚合顺序所释放的总能量为：\(((4\oplus1)\oplus2)\oplus3 = 10×2×3+10×3×5+10×5×10 = 710\)。
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输入文件
- 输入文件的第一行是一个正整数 N(\(4\le N \le 100\))，表示项链上珠子的个数。第二行是 N 个用空格隔开的正整数，所有的的数均不超过 1000 。第 i 个数为第 i 颗珠子的头标记(\(1 \le i \le N\))，当 \(i<N\) 时，第 i 颗珠子的尾标记应该等于第 i + 1 颗珠子的头标记。第 N 颗珠子的尾标记应该等于第 1 颗珠子的头标记。
- 至于珠子的顺序，你可以这样确定：将项链放在桌面上，不要出现交叉，随意指定第一颗珠子，然后按顺时针方向确定其他珠子的顺序
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输出格式
- 输出文件只有一行，是一个正整数 E(\(R \le 2.1×10^9\))，为一个最优聚合顺序所释放的总能量
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样例输入
4 2 3 5 10 -
样例输出
710 -
代码
#include <cstdio> #include <iostream> using namespace std; int head[205],tail[205],f[205][205] = {0}; int main() { int ans = 0,n,i,t,j,k; scanf("%d",&n); for(i = 1; i <= n; i++) { scanf("%d",&head[i]); head[i+n] = head[i]; } for(i = 1; i <= 2*n-1; i++) tail[i] = head[i+1]; //环变成链 tail[2*n] = head[1]; //求尾标记 for(i = 1; i <= 2*n-1; i++) //初始化 f[i][i] = 0; for(t = 1; t <= n-1; t++) //阶段，合并次数 for(i = 1; i <= 2*n-t; i++) //状态，起始位置 { j = i+t; //计算结束位置 for(k = i; k <= j-1; k++) //决策 f[i][j] = max(f[i][j],f[i][k] + f[k+1][j] + head[i]*tail[k]*tail[j]); } for(i = 1; i <= n; i++) ans = max(ans,f[i][i+n-1]); //求出最值 printf("%d",ans); return 0; }
三、凸多边形的划分
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问题描述
- 给定一个具有 N (\(N\le 50\)) 个顶点(从 1 到 N 编号)的凸多边形，每个顶点的权均是一个正整数。问：如何把这个凸多边形划分成 N - 2 个互不相交的三角形，使得这些三角形顶点的权的乘积之和最小？
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输入格式
- 输入文件的第一行为顶点数 N，第二行为 N 个顶点(从 1 到 N )的权值
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输出格式
- 只有一行，为这些三角形顶点的权的乘积之和的最小值
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输入样例
5 122 123 245 231 121 -
输出样例
12214884 -
代码
#include <cstdio> #include <iostream> #include <cstring> using namespace std; typedef long long int ll; ll F[110][110][110],a[110]; ll s1[110],s2[110],s3[110]; int n; void Mark(ll c[]) { for(int i = 1; i <= c[0]; i++) { c[i+1] += c[i]/10000; c[i] %= 10000; } while(c[c[0]+1]) { c[0]++; c[c[0]+1] += c[c[0]]/10000; c[c[0]] %= 10000; } } void Mul(ll a1,ll a2,ll a3,ll c[]) { c[0] = c[1] = 1; for(int i = 1; i <= c[0]; i++) c[i] *= a1; Mark(c); for(int i = 1; i <= c[0]; i++) c[i] *= a2; Mark(c); for(int i = 1; i <= c[0]; i++) c[i] *= a3; Mark(c); } void Add(ll a[],ll b[],ll c[]) { if(a[0] > b[0]) c[0] = a[0]; else c[0] = b[0]; for(int i = 1; i <= c[0]; i++) c[i] = a[i] + b[i]; Mark(c); } int Compare(ll a[],ll b[]) { if(a[0] < b[0]) return 0; if(a[0] > b[0]) return 1; for(int i = a[0]; i >= 1; i--) if(a[i] < b[i]) return 0; else if(a[i] > b[i]) return 1; return 0; } void Print() { int i; printf("%lld",F[1][n][F[1][n][0]]); for(i = F[1][n][0] - 1; i >= 1; i--) { printf("%lld",F[1][n][i]/1000); printf("%lld",F[1][n][i]/100%10); printf("%lld",F[1][n][i]/10%10); printf("%lld",F[1][n][i]%10); } printf("\n"); } int main() { int i,j,k,t; scanf("%d",&n); for(i = 1; i <= n; i++) cin>>a[i]; for(i = 1; i <= n; i++) for(j = 1; j <= n; j++) F[i][j][0] = 0; for(t = 2; t <= n-1; t++) for(i = 1; i <= n-t; i++) { j = i+t; F[i][j][0] = 60; for(k = i+1; k <= j-1; k++) { memset(s1,0,sizeof(s1)); memset(s2,0,sizeof(s2)); memset(s3,0,sizeof(s3)); Mul(a[i],a[k],a[j],s1); Add(F[i][k],F[k][j],s2); Add(s1,s2,s3); if(Compare(F[i][j],s3)) memcpy(F[i][j],s3,sizeof(s3)); } } Print(); return 0; }
