深搜的剪枝技巧(二)——生日蛋糕(优化搜索顺序、可行性剪枝，最优性剪枝)

生日蛋糕(优化搜索顺序、可行性剪枝，最优性剪枝)

• 问题描述

  • Mr. W 要制作一个体积为 \(N\pi\) 的 M 层生日蛋糕，每层都是一个圆柱体，设从下往上数第 i (\(1\leq i \leq M\)) 层蛋糕是半径为 \(R_i\)，高度为 \(H_i\) 的圆柱。当 \(i < M\) 时，要求 \(R_i > R_{i+1}\)，且 \(H_i > H_{i+1}\)。由于要在蛋糕上抹奶油，为尽可能节约经费，我们希望蛋糕外表面(最下一层的下底面除外)的面积 Q 最小。令 \(Q = S\pi\)，请对给出的 N 和 M 编程，找出蛋糕的制作方案(适当的 \(R_i\) 和 \(H_i\) 的值)，使 S 最小(除 Q 外，以上所有数据皆为正整数)

• 输入格式

  • 第一行为 N (\(N \leq 10000\))。表示待制作的蛋糕体积为 \(N\pi\)
  • 第二行为 M (\(M\leq 20\))，表示蛋糕的层数为 M

• 输出格式

  • 输出仅一行，是一个整数 S (若无解则 S = 0)

• 样例输入

  100
  2
  

• 样例输出

  68
  

  附：圆柱公式：体积 \(V = \pi R^2H\)；侧面积：\(A^{'} = 2\pi RH\)；底面积：\(A = \pi R^2\)

• 思路分析——枚举每一层可能的高度和半径。确定搜索范围，即底层蛋糕的最大可能半径和最大可能高度。确定搜索顺序，从底层往上搭蛋糕。

• 剪枝思路

  • 可行性剪枝 1 ——搭建过程中预见到再往上搭，高度已无法安排，或者半径已经无法安排，则停止搭建
  • 可行性剪枝 2 ——搭建过程中发现还没搭的那些层的体积，一定会超过还缺的体积，则停止搭建
  • 可行性剪枝 3 ——搭建过程中发现还没搭的那些层的体积，最大也到不了还缺的体积，则停止搭建
  • 最优性剪枝——搭建过程中发现已建好的面积已经超过目前求得的最优表面积，或者预见到搭建完后面积一定会超过目前最优表面积，则停止搭建

• 代码(未剪枝，交上去会超时)

  #include <iostream>
  #include <cmath>
  using namespace std;
  
  int N,M;
  int minArea = 1 << 30;
  int area = 0;
  
  void Dfs(int v,int n,int r,int h);
  
  int main()
  {
      cin>>N>>M;
      int MaxR = sqrt(N);   //粗略估计,忽略 π
      int MaxH = N;
      Dfs(N,M,MaxR,MaxH);
      if(minArea == 1 << 30)
          cout<< 0 <<endl;
      else
          cout<< minArea <<endl;
      return 0;
  }
  
  void Dfs(int v,int n,int r,int h)
  {
      if(n == 0)
      {
          if(v)
              return;
          else
          {
              minArea = min(minArea,area);
              return;
          }
      }
      if(v <= 0)
          return;
      for(int rr = r; rr >= n; --rr)
      {
          if(n == M)                           //底面积
              area = rr * rr;
          for(int hh = h; hh >= n; --hh)
          {
              area += 2 * rr * hh;
              Dfs(v-rr*rr*hh,n-1,rr-1,hh-1);
              area -= 2 * rr * hh;
          }
      }
  }
  

• 代码(剪枝修改过的)

  #include <iostream>
  #include <cmath>
  using namespace std;
  
  int N,M;
  int minArea = 1 << 30;
  int minA[22] = {0},minV[22] = {0};
  int area = 0;
  
  int maxVJudge(int m, int r, int h);
  void Dfs(int v,int n,int r,int h);
  
  int main()
  {
      cin>>N>>M;
      for(int i = 1; i <= M; i++)
      {
          minA[i] = minA[i-1] + 2 * i * i;
          minV[i] = minV[i-1] + i * i * i;
      }
      int MaxH = (N - minV[M-1]) / (M * M) + 1;//最大的高度
      int MaxR = sqrt((N - minV[M-1]) / M) + 1;//最大的体积
      Dfs(N,M,MaxR,MaxH);
      if(minArea == 1 << 30)
          cout<< 0 <<endl;
      else
          cout<< minArea <<endl;
      return 0;
  }
  
  int maxVJudge(int m, int r, int h)
  {
      int maxV = 0;
      for(int i = 0; i < m; i++)
          maxV += (r-i) * (r-i) *(h-i);
      return maxV;
  }
  
  void Dfs(int v,int n,int r,int h)
  {
      if(n == 0)
      {
          if(v)
              return;
          else
          {
              minArea = min(minArea,area);
              return;
          }
      }
      if(v<= 0) // 可行性剪枝1
          return ;
      if(minV[n] > v)//可行性剪枝2
          return ;
      if(maxVJudge(n,r,h) < v)//可行性剪枝3
          return ;
      if(minA[n]+area >= minArea) // 最优性剪枝
          return;
      for(int rr = r; rr >= n; --rr)
      {
          if(n == M)                           //底面积
              area = rr * rr;
          for(int hh = h; hh >= n; --hh)
          {
              area += 2 * rr * hh;
              Dfs(v-rr*rr*hh,n-1,rr-1,hh-1);
              area -= 2 * rr * hh;
          }
      }
  }