acam学习笔记

部分内容摘录自oi wiki。

AC 自动机是是以 Trie 的结构为基础，结合 KMP 的思想建立的自动机，用于解决多模式匹配（在文本串中匹配一系列模式串）等任务。其时间复杂度与串的总长度成正比。
可以感性理解为在trie树上跑kmp。

概述

简单来说，建立一个 AC 自动机有两个步骤：
1.基础的 Trie 结构：将所有的模式串构成一棵 Trie；
2.KMP 的思想：对 Trie 树上所有的结点构造失配指针。
建立完毕后，就可以利用它进行多模式匹配。

fail指针

类似于kmp中的nxt指针，用于在当前节点失配后，找到下一个最长的匹配位置。即尝试取当前字符串的一段后缀，观察它能否在字典树上换个位置匹配，fail指针即指向这个最长后缀的位置。
构建fail指针时，可以直接暴力的去跳，即在节点x，如果不存在一条字符c的出边，就不停地跳它的fail指针，直到根节点停止，或者任意一个位置存在c的出边，链接fail指针。

trie图优化

这样做一次时间复杂度就是\(O(n)\)的，考虑优化。
我们发现，如果父节点的fail指针位置存在一条字符c的出边，则当前点的fail指针直接指向fail(fa).nex[c]一定是不劣的。
如果不存在呢？
考虑对于每一个点，都处理出每一种字符的出边应该指向哪里。那么其实就是要求遍历到点x时，x的fail指针处的一切信息全部已知，可以直接通过它来转移。
注意到fail指针一定是从深层指向浅层，所以可以通过bfs实现。
这就是trie图优化。

但注意trie图所连出的边，本质上并不属于ac自动机，只是一种快速转移的优化。

拓扑优化

和拓扑没有关系，不知道为什么叫这个名字。
用于统计每个模式串在文本串中出现的次数。
注意到对于每个串，如果它出现了一次，则它的所有后缀都会出现一次，这个无法在字典树上直接处理（但前缀显然可以）。
发现后缀其实就是不断的跳fail指针即可，但这样做时间复杂度就寄了。
考虑优化。
发现如果单独提炼出点和fail指针，则会构成一棵树，对于树上的每个点，它能通过fail指针转移到的状态其实就是它的所有祖先。
所以我们每次访问到一个点就标记，最后dfs统一求和即可。

总结

个人观点：ac自动机本质上就是两棵树的叠加：一棵字典树用于记录字符串，一棵fail树用于状态转移，做题的时候分清两种操作即可。
进阶一点之后会出现acam和dp结合。