斜率优化dp学习笔记

斜率优化dp，主要用于转移式子长这样，或者可以经过一定的变形变成这样的式子：

由$$f_i = f_j + ……$$
变化到$$b = y - kx$$

其中\(b\)只与\(i\)有关，\(y\)只与\(j\)有关，\(kx\)是一个二次项，其中\(k\)只与\(i\)有关，\(x\)只与\(j\)有关。

这里以求最小值为例，即\(f_i = \min\{f_j + ……\}\)，我们注意到这个式子变形之后非常类似一个一次函数，于是我们考虑使用数形结合。

注意到此时\(x\)、\(y\)、\(k\)均已知，则原问题转化为，在平面直角坐标系中，给定i个点的坐标（因为存在0），和一条直线的斜率，要求直线必须过至少一个点，求直线在y轴上的最小截距。

对于任意一个点\(i\)，它的最优决策点必然在下凸包上。

证明

首先对于一个点\(i\)，如果它不在下凸包上，则一定会有\((y_i - y_{i-1}) / (x_i - x_{i-1}) > (y_{i+1} - y_i) / (x_{i+1} - x_i)\)，因为下凸包斜率必须单调递增。

然后我们要证伪的命题是：存在一个斜率\(k\)，使得在\(i\)点比在\(i-1\)和\(i+1\)都更优。

\(i\)比\(i-1\)更优，则有\(y_i - k*x_i < y_{i-1} - k * x_{i - 1}\)，可得\(k > (y_i - y_{i - 1}) / (x_i - x_{i - 1})\)

\(i\)比\(i+1\)更优，则有\(y_i - k * x_i < y_{i+1} - k * x_{i+1}\)，可得\(k < (y_{i+1} - y_i) / (x_{i+1} - x_i)\)

但\(k\)不可能同时大于大的，小于小的，所以不存在这样的\(k\)，证完。

接下来分三种情况讨论：

1.\(x\)和\(k\)均单调:

用一个单调队列维护凸包，同时注意到，由于k单调不降，所以凸包上的最优决策点一定不会左移。

直接单调队列即可，复杂度\(o(n)\)。

2.\(x\)单调，\(k\)不单调:

依然可以用单调队列维护凸包，但求k的时候要在单调队列上进行二分，复杂度\(O(nlog_n)\)

3.\(x\)和\(k\)都不单调:

三种选择：cdq，斜优，李超线段树。笔者只会第一种。

cdq分治的基本思想依然不变：先处理左区间，再处理左区间对右区间贡献，最后处理右区间。

所以可以维护两个数组，分别按x和k排序，递归的时候不断拆分成左右两个区间，再归并即可。中间照常用单调队列做，复杂度\(o(nlog_n)\)

完结撒花！