决策单调性优化dp学习笔记

点的第一个省选级算法，算是一个很好的过渡。

决策单调性，也称四边形不等式优化dp。主要适用于转移式子大概长这样的时候：
\(f_i = \min/\max\{f_j + w(j,i)\}\)，其中\(w(j,i)\)满足四边形不等式。

四边形不等式

当\(a\le b\le c \le d\)时，若存在$ w(a,c) + w(b,d) \le w(a,d) + w(b,c)$ ，则称\(w\)满足四边形不等式。
用的更多的一般是\(w(j,i) + w(j+1,i+1) \le w(j,i+1) + w(j+1,i)\)，此时\(j \le i\)。

决策单调性

当上述条件满足时，若\(f_i\)是从\(f_j\)转移过来的，则\(f_{i+1}\)从\(f_j\)转移过来，一定不劣于从\(f_{j-1}\)转移过来。

证明：

已知\(f_j = f_j + w(j,i) \le f_{j-1} + w(j - 1, i)\)，\(j < i\)，\(w\)满足四边形不等式
求证\(f_j+w(j,i+1) \le f_{j-1} + w(j-1,i+1)\)

由于\(w(j-1,i) + w(j,i+1) \le w(j,i) + w(j-1,i+1)\)，所以把这个式子和已知式子分别加起来，不等号方向不变，则有:
\(f_j + w(j,i+1) \le f_{j-1} + w(j-1,i+1)\)

证完。

所以我们注意到，对于每个\(f_i\)，它的最优决策点一定是单调不降的。这就是决策单调性。

实现

有两种可行的代码实现，二分队列和分治，各有优劣，先讲二分队列。

二分队列

其实本质上更类似单调队列，只是维护的过程中要用到二分。
设\(g_i\)代表\(i\)的最优决策点，则\(g\)的变化过程类似于：
11111111 -> 11222222 -> 11222233 -> ……
注意到这里的每一个数值都“统治”着一个区间。
且每次加入新数的时候，它的统治范围一定是从中间某个位置\(k\)到队尾的。
所以我们可以维护一个队列，记录每一个数值i，它的左端点和它的右端点。
如果队头右端点小于当前i就把它清出去。
每次入队的时候，二分的去确定\(k\)的位置，调整上一个元素（队尾）的右端点，再把当前元素插进队尾。
注意有些元素可能不会入队，需要处理一下。
优势在于容易理解，复杂度稳定在\(O(log_n)\)，劣势是比较难写，细节有点多，而且对于无法\(O(1)\)计算\(w\)的情况会比较麻烦。

分治

个人感觉难想但好写。
用\(solve(s,t,l,r)\)表示当前处理\(s\sim t\)这一段区间，且区间内所有点的最优决策点都在\(l \sim r\)之间。设\(mid\)为\(s \sim t\)的中点，则可以从\(l \sim r\)逐一枚举找出\(mid\)的最优决策点，记为\(u\)，并更新\(f_{mid}\)。
此时由决策单调性可知，\(s \sim mid-1\)的最优决策点一定在\(l \sim u\)之间，右侧同理。
递归分成\(solve(s,mid-1,l,u)\)和\(solve(mid+1,t,u,r)\)即可。
此时的复杂度是\(O(nlog_n)\)，因为一共会递归\(log\)层，每层从\(l\)到\(r\)枚举，会把$ 1 \sim n$ 都枚举一遍，是\(O(n)\)的。
但上述方法只能处理类似\(f_i = \min\{a_j + w(j,i)\}\)的情况，因为这时要求对于任意一个位置\(i\)，前面的\(f\)都没求的时候，可以直接求出\(i\)的值。

如果遇到\(f_i = \min\{f_j + w(j,i)\}\)，就不能这么办了，需要cdq分治。
cdq分治的本质就是先处理出左区间的信息，再用左区间的信息去更新右区间。
对于每一个点，它会不停地被别的区间更新，然后再递归下去。
直接在外面套一个cdq就好了。复杂度\(O(nlog_n^2)\)

分治的优点是简单好写，同时可以复杂度不变的处理一些\(w\)不能\(O(1)\)求出的东西。

这里详细讲一下，例如，转移式子是\(f_i = \max\{a_j + w(j,i)\}\)，其中\(w(j,i)\)代表这一段区间内不同的数的个数。

证明

这个东西是满足反向的四边形不等式的，浅证一下：

求证：\(w(j,i)+w(j+1,i+1) \ge w(j,i+1) + w(j+1,i)\)。
有两种可能。
第一，\(w(j,i) = w(j,i+1)\)，说明\(i+1\)这个数在\(j \sim i\)里出现过，若\(i+1\)的前驱刚好是\(j\)，则有\(w(j+1,i+1)=w(j+1,i)+1\),否则有\(w(j+1,i+1)=w(j+1,i)\)，成立。
第二，\(w(j,i) = w(j,i+1)-1\),即\(i+1\)没出现过，那么此时一定有\(w(j+1,i+1)=w(j+1,i)-1\)，成立。
证完。

然后我们发现\(w(j,i)\)无法\(O(1)\)求出，二分队列或许可以上个什么数据结构之类的，但会很麻烦，但分治完全不会出现这种问题，因为我们可以边枚举边求\(w\)，时间复杂度不变。

完结撒花！