P8474 「GLR-R3」立春 题解

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俗话说的好：“打表出奇迹”，所以我们这一题打表计算。

其实确实可以打表来找规律。通过打表，我们可以获得如下的结果：

1	1
2	3
3	21
4	315
5	9765
……	……

然后观察可得：

$$1 \times 3 = 1 \times (2^2 - 1) = 3$$

$$3 \times 7 = 3 \times (2^3 - 1) = 21$$

$$21 \times 15 = 21 \times (2^4 - 1) = 315$$

$$315 \times 31 = 315 \times (2^5 - 1) = 9765$$

于是可以猜测，设 $f_i$ 为 $n = i$ 时的答案，则有 $f_i = f_{i - 1}\times (2^i - 1)$。

这样就可以 $O(n)$ 递推了。

但是我们还需要知道的是，为什么是这样的关系。

假设我们已经知道了 $n = i - 1$ 时的答案，现在需要求出 $n = i$ 时的答案。

显然，一个 $i$ 的排列可以向一个 $i - 1$ 的排列中的一个位置插入数 $i$ 来得到，由于一个 $i - 1$ 的排列中不会有大于 $i$ 的数，所以对于任意一个 $i - 1$ 的排列，从后往前插入数 $i$ 依次会增加 $0,1,2,\dots,i - 1$ 个逆序对。

所以，$f_i = f_{i - 1} \times (2^0,2^1,2^2,\dots,2^{i - 1}) = f_{i - 1} \times (2^i - 1)$。

#include<bits/stdc++.h>
#define MOD 1000000007
using namespace std;
typedef long long ll;
int n;
ll ans = 1, bit = 4;
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i = 2; i <= n; i++, (bit <<= 1) %= MOD){
        (ans *= (bit - 1)) %= MOD;
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}

__EOF__

本文作者：NightTide
本文链接：https://www.cnblogs.com/NightTide/p/18434017.html
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