平衡二叉搜索树

合集 - 算法(2)

1.超冷门数据结构——二维线段树详解2022-11-13

2.平衡二叉搜索树2024-09-26

收起

PART 0：引子

二叉树想必大家都很熟悉，它在编程中具有很广泛的应用，而二叉树又分为很多种，这里介绍的了两种二叉树和一种他们的结合体。

PART 1：二叉搜索树

二叉搜索树的定义

二叉搜索树要求任意一个节点的左子节点小于它，右子节点大于它。

如图

在二叉搜索树上查找的时间复杂度相比线性结构一般要快一些，但是它有可能退化为链表，那样的话就和线性结构并无二致了。当然，这不是我们在这里要解决的问题。

二叉搜索树的查找

由于二叉搜索树的节点有一定顺序，查找起来其实非常方便，可以用递归实现：

//这里用的是int类型，运用时根据实际需求可以改变
int find(Node x,int key){
    //在以x为根结点的子树中查找并返回键key所对应的值
    //如果找不到，就返回null
    if(x==null) return null;
    if(key<x.key) return find(x.left,key);
    else if(key>x.left) return find(x.right,key);
    else return x.value;
}

下面用一个动图给大家演示一下在这个二叉搜索树里查找32的过程

最大值与最小值

根据二叉搜索树的定义，最大值就是最右端的节点，而最小值就是最左端的节点，只需要从根节点一直往右或往左走就行了。

二叉搜索树的插入

插入和查找其实很相似，只需要在树上查找要插入的元素的值，如果树上已经有了该元素，则不必插入，如果没有，那么终止的位置就是要插入的位置

Node insert(Node x,int key,int value){
    //如果key存在于以x为根节点的子树中则更新它的值；
    //如果不在就创建新节点插入到合适的位置；
    if(x==null) return new Node(key,value);
    if(key<x.key) x.left=insert(x.left,key,value);
    else if(key>x.key) x.right=insert(x.right,key,value);
    else x.value=value;
    return x;
}

如图：

二叉搜索树的删除

删除分为三种情况：

1. 要删除的节点没有子节点

直接删，不用管。

如图，我们要删除 $27$

2. 要删除的节点只有一个子节点

将它父亲指向它的指针修改为指向它的子节点，然后删除它。

如图，我们要删除 $50$

3. 要删除的节点有多个子节点

这是最麻烦的一种情况，有两种做法，取它左子树上最大的点或右子树上最小的点来代替它。

如图，我们要删除节点 $20$，这里取的是右子树上最小的点

PART 2：平衡二叉树

平衡二叉树的定义

平衡二叉树要求任意一个节点的左子树和右子树的高度差小于等于 $1$，当然，也可以是空树

如图，这就是一个平衡二叉树

平衡因子

在上图中，我们在每一个节点上都标记了一个数字，这就是平衡二叉树的平衡因子。

平衡因子就是是某节点的左子树和右子树的高度差。在平衡二叉树中，平衡因子只能为 $0,1,-1$ 这三者之一，否则就不满足平衡二叉树的定义。

如图，下面是平衡因子的三种情况的图示

平衡二叉树的调整

上面介绍了平衡二叉树，那么如果一颗二叉树不是平衡二叉树，我们应该怎么将其调整为平衡二叉树呢？

这里有四种调整情方法，对应四种不合法的情况：

左单旋(RR)

如图，这是一颗平衡二叉树

在这棵树上插入节点99，得到的树如下所示

这样的话，这棵树就失去了平衡，因此我们要将他调整为一颗平衡树，
由于右子树高于左子树，所以我们将这颗树逆时针旋转，流程如下：

1. 节点的右子节点替代此节点位置

2. 右子节点的左子树变为该节点的右子树

3. 节点本身变为右子节点的左子树

这样，这棵树就又恢复了平衡。

这种情况是在节点的右子节点的右侧插入节点，因此又称为 RR。

右单旋(LL)

右单旋的情况与左单旋类似，操作流程如下：

1. 节点的左子节点代表此节点

2. 节点的左子节点的右子树变为节点的左子树

3. 将此节点作为子节点节点的右子树。

这种情况是在节点的左子节点的左侧插入节点，因此又称为 LL。

先左旋，再右旋（LR）

若 $A$ 的左孩子节点 $B$ 的右子树 $E$ 插入节点 $F$，导致节点 $A$ 失衡，如图：

这个时候，仅仅一次旋转无法将其转化为平衡树，需要两步操作：

1. 对失衡节点 $A$ 的左子节点 $B$ 进行左旋

2. 对失衡节点 $A$ 进行右旋

经过这两步操作，使得树恢复了平衡，同时原来根节点的左子节点的右子节点 $E$ 成为了新的根节点。

先右旋，再左旋（RL）

与上面类似，在右子节点的左子树上插入节点也需要两部操作：

1. 对失衡节点 $A$ 的右子节点 $C$ 进行右旋

2. 对失衡节点 $A$ 进行左旋

经过这两步操作，使得树恢复了平衡，同时原来根节点的右子节点左子节点 $D$ 成为了新的根节点。

PART 3：二叉搜索平衡树

还记得上文中提到的二叉搜索树退化的事吗，退化成链后，二叉树相比于线性结构就没有任何的优势了，这个时候就要推出我们的二叉搜索平衡树。什么意思呢，就是使二叉搜索树满足平衡树的条件，这样的话可以防止它的退化，一旦有退化的趋势，就可以通过旋转将其再次变为平衡树。实际上，在平衡树的状态下，二叉搜索树的时间复杂度应该是最优的，是 $O(\log n)$。

对于平衡二叉树的操作，其实在上面两个部分已经分开讲完了，这里不再赘述。

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本文作者：NightTide
本文链接：https://www.cnblogs.com/NightTide/p/18434016.html
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