P8772 [蓝桥杯 2022 省 A] 求和新解法（非前缀和）

看到大佬们的前缀和代码，本蒟蒻自愧不如 qwq。

本题也可以用完全平方公式！！！

咳咳，先从一个简单的例子入手：

在 $1$ ， $2$ ， $3$ ， $4$ ， $5$ ， $6$ ， $7$ ， $8$ ， $9$ ， $10$ 这些正整数中每两个数相乘的乘积之和是多少？

我们都知道这十个数两两相乘的乘积有 $C_{10}^{2} = 45$ 个，有多项式：

\frac{(1 + 2 + 3 + \dots + 9 + 10)^{2} - (1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + \dots + 9^{2} + 10^{2})}{2}

为这十个数两两相乘的乘积之和。

为什么？

先看一下下面的算式：

(1 + 2 + 3 + \dots + 9 + 10)^{2}

由完全平方公式展开后为：

(1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + \dots + 9^{2} + 10^{2}) + 2 \times (1 \times 2 + 1 \times 3 + \dots 9 \times 10)

不难发现多项式 $(1 \times 2 + 1 \times 3 + \dots 9 \times 10)$ 正是要求的答案！

易得：

(1 \times 2 + 1 \times 3 + \dots 9 \times 10) = \frac{(1 + 2 + 3 + \dots + 9 + 10)^{2} - (1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + \dots + 9^{2} + 10^{2})}{2}

那么本题的公式就是：

\frac{(a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{n - 1} + a_{n})^{2} - ({a_{1}}^{2} + {a_{2}}^{2} + {a_{3}}^{2} + \dots + {a_{n}}^{2})}{2}

最后送上代码！

	#include<bits/stdc++.h>
	#define int long long
	using namespace std;
	int n,x,mul=0,sum=0;
	//mul:和的平方
	//sum:平方的和
	signed main(){
		cin>>n;
		for(int i=1;i<=n;i++){
			cin>>x;
			sum+=(x*x);
			mul+=x;
		}
		cout<<(mul*mul-sum)/2;
		return 0;
	}