P8772 [蓝桥杯 2022 省 A] 求和 新解法（非前缀和）

看到大佬们的前缀和代码，本蒟蒻自愧不如 qwq。

本题也可以用 完全平方公式！！！

咳咳，先从一个简单的例子入手：

在 \(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(5\)，\(6\)，\(7\)，\(8\)，\(9\)，\(10\) 这些正整数中每两个数相乘的乘积之和是多少？

我们都知道这十个数两两相乘的乘积有 \(C_{10}^2=45\) 个，有多项式：

\[\frac{(1+2+3+ \cdots +9+10)^2-(1^2+2^2+3^2+ \cdots +9^2+10^2)}{2} \]

为这十个数两两相乘的乘积之和。

• 为什么？

先看一下下面的算式：

\[(1+2+3+ \cdots +9+10)^2 \]

由完全平方公式展开后为：

\[(1^2+2^2+3^2+ \cdots +9^2+10^2)+2 \times (1 \times 2+1 \times 3+ \cdots 9 \times 10) \]

不难发现多项式 \((1 \times 2+1 \times 3+ \cdots 9 \times 10)\) 正是要求的答案！

易得：

\[(1 \times 2+1 \times 3+ \cdots 9 \times 10)=\frac{(1+2+3+ \cdots +9+10)^2-(1^2+2^2+3^2+ \cdots +9^2+10^2)}{2} \]

那么本题的公式就是：

\[\frac{(a_1+a_2+a_3+ \cdots +a_{n-1}+a_n)^2-({a_1}^2+{a_2}^2+{a_3}^2+ \cdots +{a_n}^2)}{2} \]

最后送上代码！

	#include<bits/stdc++.h>
	#define int long long
	using namespace std;
	int n,x,mul=0,sum=0;
	//mul:和的平方
	//sum:平方的和
	signed main(){
		cin>>n;
		for(int i=1;i<=n;i++){
			cin>>x;
			sum+=(x*x);
			mul+=x;
		}
		cout<<(mul*mul-sum)/2;
		return 0;
	}