『数论』求最大公因数

//#define fre yes

#include <cstdio>

int gcd(int a, int b) {
    if(b != 0) gcd(b, a % b);
    else return a;
}

谈论数论不废话 ----- 辗转相除法求gcd

以上代码的时间复杂度为 \(O(\log n)\)

证明，为何 \(gcd(b, a \mod b) = gcd(a, b)\)

设 \(g = gcd(a, b)\) 那么一定有 \(a = xg , b = yg\) 我们又可以将 a 用 b 来表示，（任何数都可以用另外一个数表示） \(a = kb + r\)（\(k\) 为 \(a / b\) 的整数部分，\(r\) 为 \(a / b\) 的余数部分 也就是 \(a \mod b\)），转化一下\(r = a - kb\) 那么将上面的 a, b 代入，也就变成了 \(r = xg - kyg = (x - ky)g\) 此时的 g 也是 r 的因数了，又因为 \(r\) 为 \(a \mod b\) 所以 \(gcd(a, b) = gcd(b, a \mod b)\) 证毕