「贪心」糖果传递
糖果传递
原题链接:糖果传递
题目大意
有 \(n\) 个人,围在一起,每个人有 \(a_i\) 个糖果,每次移动一次糖果需要消耗 1 的代价,现在要让所有人获得的糖果数相同,求最小代价
题目题解
很经典的贪心题,如果你对本题理解不了的话,建议去看看
首先读完题之后我们就可以知道,最终的答案一定是每个人的糖果数相同,怎么相同呢?很简单,每个人都是整组数的平均数就能相同了,我们将平均数记作 \(ave\) 现在我们就要解决怎么最小消耗了,首先我们设三个未知数 \(a_i\) 和 \(q_i\) 和 \(h_i\) 分别代表:每个人目前的糖果数 和 每个人从前面一个人手中得到的糖果数 和 每个人从后面一个人手中得到的糖果数,当\(q_i < 0 ||h_i < 0\)时,均代表从当前人往前后给糖果,那么最终的答案一定是 \(ans = q_1 + h_1 + q_2 + h_2 + ... + q_n + h_n\) 。
假如现在第一个小朋友,他给了第n个小朋友\(q_1\)的糖,且从第二个小朋友手中得到了\(h_1\)个糖,那么此时\(a_1 - q_1 + h_1 = ave\) ,同理对于第二个小朋友我们有 \(a_2 - q_2 + h_2 = ave\) 以下同理直到第n个小朋友,然后我们从第一个小朋友的等式可以化出 \(h_1 - q_1 = ave - a_1\) 第二个小朋友有 \(h_2 - q_2 = ave - a2\) ,我们发现两个式子其实是有关联的 \(|h_1| = |h_2|\) 哎我们发现这里似乎能够化简,并且由于两个变量不好计算,我们在这里将其化为一个变量 \(x_i\) 代表从当前这一位给前面一位多少个糖果
那么同理我们可以得到式子
\(a_1 - x_1 + x_2 = ave\) -> \(x_2 = ave - a_1 + x_1\)
\(a_2 - x_2 + x_3 = ave\) -> \(x_3 = ave - a_2 + x_2\) -> \(x_3 = ave - a_2 + (ave - a_1 + x_1)\) -> \(x_3 = 2ave - a_2 - a_1 + x_1\)
\(a_3 - x_3 + x_4 = ave\) -> \(x_4 = ave - a_3 + x_3\) -> \(x_4 = ave - a_3 + (2ave - a_2 - a_1 + x_1)\) -> \(x_4 = 3ave - a_3 - a_2 - a_1 + x_1\)
观察式子发现,每一次都会有一个 \(-a_i\) 然后还会有 \(iave + x_1\) 因为最终答案和 \(x\) 有关,我们想办法将\(x\)独立出来然后再观察,就会变成\(x_{i + 1} = x_1 - c_i(c_i = \Sigma_{j = 1}^{i}-a_i + \Sigma_{j = 1}^{i}ave)\) 于是我们的最终答案就变成了\(ans = |x_1| + |x_1 - c_1| + |x_1 - c_2| + .... + |x_1 - c_{n - 1}|\) 而我们知道 \(|x_1 - c_i|\) 的几何意义是数轴上 \(x_1\) 到 \(c_i\) 的距离,所以这个问题就变成了:给定数轴上\(n\)个点,找出一个到他们的距离之和尽量小的点,而这个点就是这些数的中位数,证明请看货仓选址
代码如下
//#define fre yes
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
const int N = 1000005;
int a[N], c[N];
int n, ave;
long long sum;
int main() {
scanf("%d", &n);
for (int i = 1; i <= n; i++) {
scanf("%d", &a[i]);
sum += a[i];
}
ave = sum / n;
for (int i = 2; i <= n; i++) {
c[i] = c[i - 1] + a[i] - ave;
} std::sort(c + 1, c + 1 + n);
long long ans = 0;
int mid = c[(n >> 1) + 1];
for (int i = 1; i <= n; i++) {
ans += abs(c[i] - mid);
} printf("%lld\n", ans);
return 0;
}