『树状数组』树状数组模板
『树状数组』树状数组模板
竞赛需要用到的点
- 树状数组可以解决大部分基于区间上更新、查询的操作
- 树状数组能写的线段树都能写，但线段树能写的树状数组不一定能写
- 代码量小，且常数比线段树小
- 树状数组是 树与二进制 的混合使用
- lowbit(x) -> x&(-x) 为何？ -x = x的二进制数中 0 变 1，1 变 0 然后末尾 + 1 lowbit可以得到一个由原二进制数变来的只有末尾1的新的二进制数
树状数组略讲
此处借用 百度百科 的图片
由此图我们可以得到以下信息（所有信息均用二进制处理）
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所有区间所包含的点的数量为 \(2^k\) 其中 \(k\) 为该数二进制下末尾 \(0\) 的个数
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[单点修改] 当我们修改一个点 \(i\) 的值后，那么所包含 \(i\) 的区间都要改变
- 哪些值要变？ \(i\) 在二进制下，加上该二进制下最低位1 例如（1001 -> 1010）（9 -> 10）
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[单点查询] 因为树状数组存储的形式类似于前缀和的形式，所以单点查询的办法也显而易见
- 如何查询？查询 \(b_i\) 与 \(b_{i - 1}\) 的值，然后两式相减 可得 \(a_i\)
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[区间查询] 和单点查询类似 若查询\([i, j]\) ，那么可得 \(b_j - b_{i - 1}\)
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[区间更新] 对于这种问题我们分两种情况
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[区间修改&单点查询] 这里我们需要用到差分的思想，即将原本的树状数组的数组用差分数组来表示 \(b_i = a_i - a_{i - 1}\) ，答案也呼之欲出，对于差分 我们每次想得到 \(a_n\) 都是 \(\Sigma_{i = 1}^{n}b_i\) 然后对于每次修改，我们对 \(b_i\) 与 \(b_j + 1\) 进行单点修改即可。
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[区间修改&区间查询] 这里我们也要用到差分的思想，但这次我们需要维护两个差分数组（\(sum1\) 和 \(sum2\)）为什么？ 我们从上面可以得到，想要知道 \(a_{[i, j]}\) 的和就得用以下式子求出，\(\Sigma_{i = 1}^na = \Sigma_{i = 1}^n\Sigma_{j = 1}^ib_j\) 激动人心的化简时刻到了$$\begin{eqnarray}\Sigma_{i = 1}^na &=& \Sigma_{i = 1}^n\Sigma_{j = 1}^ib_j \&=& n\times b_1+(n-1)\times b_2 + (n - 2)\times b_3 + ... + b_n \&=& n\Sigma_{i = 1}^nb_i - b_2-2b_3-3b_4-...-(n-1)b_n\&=&n\Sigma_{i = 1}^nb_i + \Sigma_{i = 2}^n\Sigma_{j = 1}^{i - 1}(-b_i)\&=&n\Sigma_{i = 1}^nb_i + \Sigma_{i = 2}^n(-b_i)\times (i - 1)\&=&n\Sigma_{i = 1}^nb_i - \Sigma_{i = 2} ^ nb_i\times (i - 1)\end{eqnarray}$$
因为 \(\Sigma_{i = 2}^nb_i\times (i - 1)\) 与 \(\Sigma_{i = 1}^nb_i\times (i - 1)\) 等价
所以原式子 = \(n\Sigma_{i = 1}^nb_i - \Sigma_{i = 1}^nb_i\times (i - 1)\) 在这个式子中，由于有\(\Sigma_{i = 1}^n\)所以我们可以易得用差分，用两个差分数组维护 \(b_i\) 与 \(b_i \times (i - 1)\) 就可以了
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部分模板代码展现
- 单点修改 单点查询
#define fre yes
#include <cstdio>
const int N = 100005;
int a[N], b[N];
int n;
int lowbit(int x) {
return x & (-x);
}
void point_change(int x, int k) { // point_change(x, k)
while(x <= n) {
b[x] += k;
x += lowbit(x);
}
}
int getSum(int x) { // getSum(x) - getSum(x - 1)
int res = 0;
while(x > 0) {
res += b[x];
x -= lowbit(x);
} return res;
}
int main() {
...
}
- 单点修改 区间查询
#define fre yes
#include <cstdio>
const int N = 100005;
int a[N], b[N];
int n;
int lowbit(int x) {
return x & (-x);
}
void point_change(int x, int k) { // point_change(x, k)
while(x <= n) {
b[x] += k;
x += lowbit(x);
}
}
int getSum(int x) { // getSum(r) - getSum(l - 1)
int res = 0;
while(x > 0) {
res += b[x];
x -= lowbit(x);
} return res;
}
int main() {
...
}
- 区间修改 单点查询
#define fre yes
#include <cstdio>
const int N = 100005;
int a[N], b[N];
int n;
int lowbit(int x) {
return x & (-x);
}
void interval_change(int x, int k) { // point_change(l, x) point_change(r + 1, -x)
while(x <= n) {
b[x] += k;
x += lowbit(x);
}
}
int getSum(int x) { // getSum(x)
int res = 0;
while(x > 0) {
res += b[x];
x -= lowbit(x);
} return res;
}
int main() {
...
}
- 区间查询 区间修改
#define fre yes
#include <cstdio>
const int N = 100005;
int sum1[N], sum2[N];
int n;
int lowbit(int x) {
return x & (-x);
}
void interval_change(int j, int k) {
// push -> interval_change(i, a[i] - a[i - 1])
// change -> interval_change(l, k) interval_change(r + 1, -k)
int i = j;
while(j <= n) {
sum1[j] += k;
sum2[j] += k * (i - 1);
j += lowbit(j);
}
}
int getSum(int i) { // getSum(r) - getSum(l - 1)
int res = 0, x = i;
while(i > 0) {
res += x * sum1[i] - sum2[i];
i -= lowbit(i);
} return res;
}
int main() {
...
}
