并查集
并查集相关
前言
一直以来，并查集学浅了……除了最基本的路径压缩什么都不会
路径压缩
基本操作
详细理论见蓝书。
并查集的初始化
for(int i=1;i<=n;i++) f[i]=i;
并查集的查询
int find(int x){return f[x]==x?x:f[x]=find(f[x]);}
并查集的合并
void merge(int x,int y){
int f1=find(x),f2=find(y);
if(f1!=f2) 不在一个集合中
f[f1]=f2;
}
[NOI2015] 程序自动分析
题目
描述
在实现程序自动分析的过程中，常常需要判定一些约束条件是否能被同时满足。
考虑一个约束满足问题的简化版本：假设 \(x_1,x_2,x_3...\) 代表程序中出现的变量，给定 \(n\) 个形如 \(x_i=x_j\) 或 \(x_i≠x_j\) 的变量相等/不相等的约束条件，请判定是否可以分别为每一个变量赋予恰当的值，使得上述所有约束条件同时被满足。例如，一个问题中的约束条件为：\(x_1=x_2，x_2=x_3 ,x_3=x_4 ， x4≠x_1\) ，这些约束条件显然是不可能同时被满足的，因此这个问题应判定为不可被满足。
现在给出一些约束满足问题，请分别对它们进行判定。
输入格式
输入的第一行包含一个正整数 \(t\) 表示需要判定的问题个数。注意这些问题之间是相互独立的。
对于每个问题，包含若干行：
第一行包含一个正整数 \(n\) ，表示该问题中需要被满足的约束条件个数。接下来 \(n\) 行，每行包括三个整数 \(i,j,e\) ,描述一个相等/不等的约束条件，相邻整数之间用单个空格隔开。若 \(e=1\) ,则该约束条件为 \(x_i=x_j\) 若 \(e=0\) ,则该约束条件为 \(x_i≠x_j\)
输出格式
输出包括 \(t\) 行。
输出文件的第 \(k\) 行输出一个字符串 \(YES\) 或者 \(NO\)（字母全部大写），\(YES\) 表示输入中的第 \(k\) 个问题判定为可以被满足，\(NO\) 表示不可被满足。
思路
首先，把有相等关系的变量合并，每次出现不等关系时，查询 \(i,j\) 是否在同一个集合中，若在，则矛盾。
由于题目的数据范围是 $i,j≤ 10^9 $ 所以需要离散化。
code
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e6+105;
int f[N],u[N<<2],T,n,cnt;
bool flag;
struct qwq{int x,y,e;}q[N];
bool cmp(qwq a,qwq b){return a.e>b.e;}
inline void clean(){
flag=1;cnt=-1;
memset(u,0,sizeof(u));
memset(q,0,sizeof(q));
memset(f,0,sizeof(f));
}
void pre(int k){for(int i=1;i<=k;i++)f[i]=i;}
int find(int x){return x==f[x]?x:f[x]=find(f[x]);}
void check(int x,int y,int e){
int f1=find(x),f2=find(y);
if(e==1) f[f1]=f2;
else if(f1==f2){flag=0;printf("NO\n");}
}
inline int read(){
int x=0,f=1;char ch=getchar();
while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(isdigit(ch)){x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';ch=getchar();}
return x*f;
}
int main(){
T=read();
while(T--){
n=read();clean();
for(int i=1;i<=n;i++){
q[i].x=read();q[i].y=read();q[i].e=read();
u[++cnt]=q[i].x;u[++cnt]=q[i].y;
}
sort(u,u+cnt);int pwp=unique(u,u+cnt)-u;
for(int i=1;i<=n;i++){
q[i].x=lower_bound(u,u+pwp,q[i].x)-u;
q[i].y=lower_bound(u,u+pwp,q[i].y)-u;
}
pre(pwp);sort(q+1,q+n+1,cmp);
for(int i=1;i<=n;i++){
check(q[i].x,q[i].y,q[i].e);
if(!flag) break;
}
if(flag) printf("YES\n");
}
return 0;
}
超市
题目
思路
code
扩展域和边带权
建立一个数组 \(d\) ,\(d[x]\) 记录战舰 \(x\) 与 \(f[x]\) 之间的边的权值。在路径压缩把 \(x\) 指向树根的同事，把 \(d[x]\) 更新为从 \(x\) 到树根的路径上的所有边权之和。
建立一个数组 \(siz\) 在每个树根上记录集合大小。
查询+路径压缩
int find(int x){
if(x==f[x]) return x;
int root=find(f[x]);
d[x]+=d[f[x]];
return f[x]=root;
}
合并
void merge(int x,int y){
x=find(x);y=find(y);
f[x]=y;d[x]=siz[y];
siz[y]+=siz[x];
}
[NOI2002] 银河英雄传说
题目
描述
公元 \(5801\) 年，地球居民迁至金牛座 \(\alpha\) 第二行星，在那里发表银河联邦创立宣言，同年改元为宇宙历元年，并开始向银河系深处拓展。
宇宙历 \(799\) 年，银河系的两大军事集团在巴米利恩星域爆发战争。泰山压顶集团派宇宙舰队司令莱因哈特率领十万余艘战舰出征，气吞山河集团点名将杨威利组织麾下三万艘战舰迎敌。
杨威利擅长排兵布阵，巧妙运用各种战术屡次以少胜多，难免恣生骄气。在这次决战中，他将巴米利恩星域战场划分成 \(30000\) 列，每列依次编号为 \(1, 2,\ldots ,30000\) 。之后，他把自己的战舰也依次编号为 \(1, 2, \ldots , 30000\) ，让第 \(i\) 号战舰处于第 \(i\) 列，形成“一字长蛇阵”，诱敌深入。这是初始阵形。当进犯之敌到达时，杨威利会多次发布合并指令，将大部分战舰集中在某几列上，实施密集攻击。合并指令为 M i j ，含义为第 \(i\) 号战舰所在的整个战舰队列，作为一个整体（头在前尾在后）接至第 \(j\) 号战舰所在的战舰队列的尾部。显然战舰队列是由处于同一列的一个或多个战舰组成的。合并指令的执行结果会使队列增大。
然而，老谋深算的莱因哈特早已在战略上取得了主动。在交战中，他可以通过庞大的情报网络随时监听杨威利的舰队调动指令。
在杨威利发布指令调动舰队的同时，莱因哈特为了及时了解当前杨威利的战舰分布情况，也会发出一些询问指令： C i j 。该指令意思是，询问电脑，杨威利的第 \(i\) 号战舰与第 \(j\) 号战舰当前是否在同一列中，如果在同一列中，那么它们之间布置有多少战舰。
作为一个资深的高级程序设计员，你被要求编写程序分析杨威利的指令，以及回答莱因哈特的询问。
输入格式
第一行有一个整数 \(T\) \(（1 \le T \le 5 \times 10^5 )\) ,表示总共有 \(T\) 条指令。
以下有 \(T\) 行，每行有一条指令。指令有两种格式：
M i j ：\(i\) 和 \(j\) 是两个整数\(（1 \le i,j \le 30000）\)，表示指令涉及的战舰编号。该指令是莱因哈特窃听到的杨威利发布的舰队调动指令，并且保证第 \(i\) 号战舰与第 \(j\) 号战舰不在同一列。
C i j ： \(i\) 和 \(j\) 是两个整数 \(（1 \le i,j \le 30000 ）\) ，表示指令涉及的战舰编号。该指令是莱因哈特发布的询问指令。
输出格式
依次对输入的每一条指令进行分析和处理：
-
如果是杨威利发布的舰队调动指令，则表示舰队排列发生了变化，你的程序要注意到这一点，但是不要输出任何信息。
-
如果是莱因哈特发布的询问指令，你的程序要输出一行，仅包含一个整数，表示在同一列上，第 \(i\) 号战舰与第 \(j\) 号战舰之间布置的战舰数目。如果第 \(i\) 号战舰与第 \(j\) 号战舰当前不在同一列上，则输出 \(-1\) 。
code
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+105;
int f[N],d[N],siz[N];
int find(int x){
if(x==f[x]) return x;
int root=find(f[x]);
d[x]+=d[f[x]];
return f[x]=root;
}
void merge(int x,int y){
x=find(x);y=find(y);
f[x]=y;d[x]=siz[y];
siz[y]+=siz[x];
}
inline int read(){
int x=0,f=1;char ch=getchar();
while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(isdigit(ch)){x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';ch=getchar();}
return x*f;
}
int T,x,y;
char c;
int main(){
T=read();
for(int i=1;i<=N-105;i++) f[i]=i,siz[i]=1;
while(T--){
cin>>c;x=read();y=read();
if(c=='M')merge(x,y);
else if(c=='C'){
int X=find(x),Y=find(y);
if(X!=Y)printf("-1\n");
if(X==Y) printf("%d\n",abs(d[x]-d[y])-1);
}
}
return 0;
}
关于爆空间导致的结果是 \(WA\) 所以瞎调了好长时间这档事
预处理循环一开始写的是 i<=N 然后因为数组是 int f[N] 导致 To short on line 1 。
奇偶游戏
或者这里： [CEOI1999]Parity Game
题目
思路
边带权
\(sum\) 表示前缀和。
-
\(S[l\) ~ \(r]\) 有偶数个 \(1\),等价于 \(sum[l-1]\) 与 \(sum[r]\) 的奇偶性相同
-
\(S[l\) ~ \(r]\) 有奇数个 \(1\),等价于 \(sum[l-1]\) 与 \(sum[r]\) 的奇偶性不同
那么可以转换为：
-
若 \(x_1\) 与 \(x_2\) 的奇偶性相同， \(x_2\) 与 \(x_3\) 的奇偶性也相同，那么 \(x_1\) 与 \(x_3\) 的奇偶性相同
-
若 \(x_1\) 与 \(x_2\) 的奇偶性相同， \(x_2\) 与 \(x_3\) 的奇偶性不同，那么 \(x_1\) 与 \(x_3\) 的奇偶性不同
（若 \(x_3\) 与 \(x_2\) 的奇偶性不同，\(x_2\) 与 \(x_1\) 的奇偶性相同，那么 \(x_1\) 与 \(x_3\) 的奇偶性不同）
- 若 \(x_1\) 与 \(x_2\) 的奇偶性不同， \(x_2\) 与 \(x_3\) 的奇偶性也不同，那么 \(x_1\) 与 \(x_3\) 的奇偶性相同
\(d[x]=0\) 表示 \(x\) 与 \(f[x]\) 的奇偶性相同。
\(d[x]=1\) 表示 \(x\) 与 \(f[x]\) 的奇偶性不同。
检查每一个询问 \(（x,y,v）\) 的 \(x\)和\(y\)是否在同一个集合内
code
边带权做法：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=5e4+105;
struct qwq{int l,r,v;}ask[N];
int a[N],f[N],d[N],n,m,tot;
inline int read(){
int x=0,f=1;char ch=getchar();
while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(isdigit(ch)){x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';ch=getchar();}
return x*f;
}
inline void lsh(){
n=read();m=read();
for(int i=1;i<=m;i++){
char s[5];
ask[i].l=read();ask[i].r=read();
scanf("%s",s);ask[i].v=(s[0]=='o'?1:0);
a[++tot]=ask[i].l-1;a[++tot]=ask[i].r;
}
sort(a+1,a+1+tot);n=unique(a+1,a+tot+1)-a-1;
}
int find(int x){
if(x==f[x]) return x;
int root=find(f[x]);d[x]^=d[f[x]];
return f[x]=root;
}
int main(){
lsh();
for(int i=1;i<=n;i++) f[i]=i;
for(int i=1;i<=m;i++){
int x=lower_bound(a+1,a+1+n,ask[i].l-1)-a;
int y=lower_bound(a+1,a+1+n,ask[i].r)-a;
int X=find(x),Y=find(y);
if(X==Y){
if((d[x]^d[y])!=ask[i].v)
{printf("%d\n",i-1);return 0;}
}
else f[X]=Y,d[X]=d[x]^d[y]^ask[i].v;
}
printf("%d",m);
}
