FHQ Treap 笔记 & 代码

前言

首先先说好，我不太懂 $ FHQ$ $Treap $。
同机房的大家都在写 $ Splay $ ,只几个人（比方说我）在用 $ Treap $……

然而这两个都不好调（对我来说就没有好调的），所以去学了 $ FHQ$ $Treap $

FHQ讲数据结构
这个需要\(VIP\)⬆

那么接下来……

据我所知

变量定义

（因为我起变量名起得很臭） 先说明一下每个变量是什么意思。

\(1.\) \(son[x][k]\),\(k=0,1\);
代表了两个儿子，其中，当 \(k=0\) 时是左儿子， \(k=1\) 时是右儿子；

\(2.\) \(val[x]\) 权值；

\(3.\) \(ran[x]\) 指 \(rand\) ，
写过 \(Treap\)应该知道，$ Treap $ 维持平衡性靠的是附加一个随机的权值，因为是随机的，所以每个权值取到的概率是一样的。那么高度也接近 $ logN $ ,所以是平衡的（扯远了

\(4.\) \(siz[x]\) 嗯，是大家想的那个，子树大小

\(5.\) \(SIZE\) 指总 \(size\)

以及一些容易理解的变量：\(root\) 是根 ， $ opt $ 表示情况

两种基本操作

\(FHQ\) \(Treap\) 有两种操作（指最基础的），分别是 分裂 和 合并。

分裂：把一棵树分成两棵树
合并：把两棵树合成一棵树

（Ⅰ）合并（\(merge\)）:

• 合并操作将两个\(Treap\)合并成一个，合并时依然是依靠\(ran\)值来维持平衡。

• 根据\(ran\)值大小不断递归，判断在左子树还是右子树。

\(code\)：

int merge(int x,int y){
	if(!x||!y) return x+y;
	if(ran[x]<ran[y]){
		son[x][1]=merge(son[x][1],y);
		Up(x);return x;
	}
	else {
		son[y][0]=merge(x,son[y][0]);
		Up(y);return y;
	}
}

很惊讶吧，我没压行！

（ Ⅱ ）分裂（\(split\)）

• 分裂有两种，一种是按照 \(val\) 分裂，一种是按照 \(siz\) 分。

• 比方说 普通平衡树 ，是按 \(val\) 分的;
  文艺平衡树 是按照 \(siz\) 分的，具体得看情况。

• 如果是按\(val\)分，假设有一个权值 \(k\) ，让\(val\)小于等于 \(k\) 的节点在 左子树，大于 \(k\) 的在 右子树 中。

按\(val\)分的\(code\):

void split(int p,int k,int &x,int &y){
	if(!p) x=y=0;
	else{
		if(val[p]<=k) x=p,split(son[p][1],k,son[p][1],y);
		else y=p,split(son[p][0],k,x,son[p][0]);
		Up(p);
	}
}

• 如果是按 \(siz\) 分：

$ code $ :

void split(int p,int k,int &x,int &y){
	if(!p) x=y=0;
	else{
		if(f[p])Down(p);//下面用siz，而不是val 
		if(siz[son[p][0]]<k) x=p,split(son[p][1],k-siz[son[p][0]]-1,son[p][1],y);
		else y=p,split(son[p][0],k,x,son[p][0]);
		Up(p);
	}
}

有一说一，只要有\(merge\)操作，就会有\(split\) 操作。

其他基本操作

• 新建节点($ New_node $)：

int New(int v){
	siz[++SIZE]=1;
	val[SIZE]=v;ran[SIZE]=rand();
	return SIZE;
}

• $ Update $ :

void Up(int x){siz[x]=1+siz[son[x][0]]+siz[son[x][1]];}

平衡树的常见操作

Ⅰ， 插入（\(Insert\)）

• 把插入的新点看成一棵树，先把树按照新点分成两部分(\(split\)),再把新节点和一部分合并，合并之后再把两部分合并（\(merge\)）

\(code\):

split(root,a,x,y);
root=merge(merge(x,New(a)),y);

Ⅱ，删除(\(Remove\))

个人习惯叫这个\(Remove\).

• 考虑一件事，如果把一个树的左右子树合并，那么可以视为把这棵树的根节点删掉了。

• 先把树按照 \(k\) 分成\(a\) , \(b\) 两部分，此时假设 \(k\) 是 \(a\) 这部分的 最大值

• 再把 \(a\) 分成两部分，\(x\) 和 \(y\) .那么权值为\(k\)的节点一定是个根节点，用刚刚说的办法删掉它。

• 最后把这几部分拼回来就行了。

\(code\):

split(root,a,x,z);split(x,a-1,x,y);
y=merge(son[y][0],son[y][1]);root=merge(merge(x,y),z);

Ⅲ，查询排名为\(K\)的数

• 根据\(siz\)的大小不断向子树寻找

int kth(int p,int k){
	while(1){
		if(k<=siz[son[p][0]])p=son[p][0];
		else if(k==siz[son[p][0]]+1) return p;
		else k-=siz[son[p][0]]+1,p=son[p][1];
	}
}
int zpzs(int k){return val[kth(root,k)];}

Ⅳ，查询\(val\)为\(x\)的排名

• 先按\(x-1\)分裂树，那么其中一部分的最大值为\(a-1\),算一下它的\(siz\)就是答案。

\(code\):

split(root,a-1,x,y);
printf("%d\n",siz[x]+1);
root=merge(x,y);

Ⅴ，查\(x\)的前驱

• 由于\(x\)的前驱小于等于 \(x-1\),所以按\(x-1\)分一下就行了。

\(code\):

split(root,a-1,x,y);
printf("%d\n",val[kth(x,siz[x])]);
root=merge(x,y);

Ⅵ ，查\(x\)的后继

• 同查前驱。

\(code\):

split(root,a,x,y);
printf("%d\n",val[kth(y,1)]);
root=merge(x,y);

完整代码：

题目：【模板】普通平衡树

\(code\):

//重构次数：2 
//题目：FHQ Treap 
//不压行 
#include<bits/stdc++.h> 
using namespace std;
const int N=1e5+105;
int son[N][3],val[N],ran[N],siz[N],SIZE,n,root,x,y,z,opt,a;
void Up(int x){siz[x]=1+siz[son[x][0]]+siz[son[x][1]];} 
int New(int v){
	siz[++SIZE]=1;
	val[SIZE]=v;ran[SIZE]=rand();
	return SIZE;
}
int merge(int x,int y){
	if(!x||!y) return x+y;
	if(ran[x]<ran[y]){
		son[x][1]=merge(son[x][1],y);
		Up(x);return x;
	}
	else {
		son[y][0]=merge(x,son[y][0]);
		Up(y);return y;
	}
}
void split(int p,int k,int &x,int &y){
	if(!p) x=y=0;
	else{
		if(val[p]<=k) x=p,split(son[p][1],k,son[p][1],y);
		else y=p,split(son[p][0],k,x,son[p][0]);
		Up(p);
	}
}
int kth(int p,int k){
	while(1){
		if(k<=siz[son[p][0]])p=son[p][0];
		else if(k==siz[son[p][0]]+1) return p;
		else k-=siz[son[p][0]]+1,p=son[p][1];
	}
}
int main(){
	srand(1e9+7);
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d%d",&opt,&a);
		if(opt==1){//插入 
			split(root,a,x,y);
			root=merge(merge(x,New(a)),y);
		}
		else if(opt==2){
			split(root,a,x,z);split(x,a-1,x,y);
			y=merge(son[y][0],son[y][1]);root=merge(merge(x,y),z);
		}
		else if(opt==3){
			split(root,a-1,x,y);
			printf("%d\n",siz[x]+1);
			root=merge(x,y);
		}
		else if(opt==4){printf("%d\n",val[kth(root,a)]);}
		else if(opt==5){
			split(root,a-1,x,y);
			printf("%d\n",val[kth(x,siz[x])]);
			root=merge(x,y);
		}
		else if(opt==6){
			split(root,a,x,y);
			printf("%d\n",val[kth(y,1)]);
			root=merge(x,y);
		}
	}
	return 0;
}

题目：【模板】文艺平衡树

\(code\):

//重构次数：1
//题目：文艺平衡树 
//不压行 
#include<bits/stdc++.h> 
using namespace std;
const int N=1e5+105;
int son[N][3],val[N],ran[N],siz[N],SIZE,n,root,m;
bool f[N];
void Up(int x){siz[x]=1+siz[son[x][0]]+siz[son[x][1]];} 
void Down(int x){
	swap(son[x][0],son[x][1]);
	if(son[x][0])f[son[x][0]]^=1;
	if(son[x][1])f[son[x][1]]^=1;
	f[x]=0;
}
int New(int v){
	siz[++SIZE]=1;
	val[SIZE]=v;ran[SIZE]=rand();
	return SIZE;
}
int merge(int x,int y){
	if(!x||!y) return x+y;
	if(ran[x]<ran[y]){
		if(f[x])Down(x);
		son[x][1]=merge(son[x][1],y);
		Up(x);return x;
	}
	else {
		if(f[y])Down(y);
		son[y][0]=merge(x,son[y][0]);
		Up(y);return y;
	}
}
void split(int p,int k,int &x,int &y){
	if(!p) x=y=0;
	else{
		if(f[p])Down(p);//下面用siz，而不是val 
		if(siz[son[p][0]]<k) x=p,split(son[p][1],k-siz[son[p][0]]-1,son[p][1],y);
		else y=p,split(son[p][0],k,x,son[p][0]);
		Up(p);
	}
}
/*int kth(int p,int k){
	while(1){
		if(k<=siz[son[p][0]])p=son[p][0];
		else if(k==siz[son[p][0]]+1) return p;
		else k-=siz[son[p][0]]+1,p=son[p][1];
	}
}*/
void out(int x){
	if(!x) return ;
	if(f[x])Down(x);
	out(son[x][0]);
	printf("%d ",val[x]) ;
	out(son[x][1]);
}

int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++)root=merge(root,New(i));
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int l,r,x,y,z;
		scanf("%d%d",&l,&r);
		split(root,l-1,x,y);split(y,r-l+1,y,z);
		f[y]^=1;root=merge(x,merge(y,z));
	}
	out(root);
	return 0;
}

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