[离散数学] 集合论
这里是离散数学集合论的学习笔记qaq
让我们跳过高中部分的知识
一个集合的幂集为该集合所有子集所构成的集合，集合 \(A\) 的幂集记作 \(\mathcal{P}(A)\)。
我们通常将论域内所有元素的集合叫做全集。
集合的运算有：
交运算：\(A \cap B = \{x | x \in A \land x \in B \}\)
并运算：\(A \cup B = \{x | x \in A \lor x \in B \}\)
补运算：\(A - B = \{x | x \in A \land x \notin B \}\)
补集：\(\overline{A} = E - A\)
对称差：\(A \oplus B = (A \cup B) - (A \cap B)\)
显然我们有 \(A - B = A \cap \overline{B}\)，那么对称差也可以表示为 \(A \oplus B = (A \cup B) \cap (\overline{A} \cup \overline{B}) = (A \cap \overline{B}) \cup (\overline{A} \cap B)\).
有两个元素 \(x, y\) 按照一定次序组成的二元组称为序偶，记作 \(\langle x, y \rangle\)。
定义两个序偶 \(\langle a, b \rangle, \langle c, d \rangle\) 相等，当且仅当 \(a = c, b = d\)。
我们可以递归定义 \(n\) 元序偶对，即由 \(n\) 个元素 \(a_1, a_2, \cdots, a_n\) 按照次序组成的 \(n\) 元序偶对，\(\langle a_1, a_2, \cdots, a_n \rangle = \langle \langle a_1, a_2, \cdots, a_{n - 1} \rangle, a_n \rangle\)。
我们定义两个集合的笛卡尔积运算，即 \(A \times B = \{\langle x, y \rangle | x \in A \land y \in B \}\)。
通常 \(A \neq B\) 时，\(A \times B \neq B \times A\)。
注意 \(A^n = A^{n - 1} \times A\)，注意三元组的定义。即笛卡儿积既没有交换律也没有结合律。
任一序偶的集合确定了一个二元关系 \(R\)，\(R\) 中任意序偶 \(\langle x, y \rangle\) 可以记作 \(\langle x, y \rangle \in R\) 或者 \(x R y\)，不在 \(R\) 中的任意序偶 \(\langle x, y \rangle\) 可记为 \(\langle x, y \rangle \notin R\) 或者 \(x \not R y\)
其中 \(x\) 所属的集合称为二元关系的前域，记作 \(\operatorname{dom}(R)\)，\(y\) 所属的集合称为二元关系的值域，记作 \(\operatorname{ran}(R)\)，它们并在一起称作二元关系 \(R\) 的域，记作 \(\operatorname{FLD}(R)\)。
若 \(X, Y\) 为两个集合，笛卡尔积 \(X \times Y\) 的子集称为 \(X\) 到 \(Y\) 的关系。我们将 \(X \times Y\) 的两个平凡子集 \(X \times Y, \varnothing\) 称为全域关系和空关系。当 \(X = Y\) 时，我们将这个关系称为 \(X\) 上的二元关系。
显然 \(A\) 到 \(B\) 的二元关系的数量为 \(2^{\vert A \vert \vert B \vert}\)。
比较特殊的一个关系是恒等关系，如果 \(I_X\) 是 \(X\) 上的一个关系，且 \(I_X = \{\langle x, x \rangle | x \in X \}\)，则称 \(I_X\) 为在 \(X\) 上的恒等关系。
由于二元关系是集合，所以两个二元关系间也可以做集合间的运算。
除了用集合表示关系，还可以通过关系矩阵来表示关系。即设 \(A = \{a_1, a_2, \cdots, a_n \}, B = \{b_1, b_2, \cdots, b_m \}\)，\(R\) 是 \(A\) 到 \(B\) 的二元关系，则该关系的关系矩阵为：
还有就是关系图法，我们可以将集合 \(A, B\) 的所有元素当成结点，这样我们可以将 \(\langle a_i, b_j \rangle\) 当作一条有向边。注意在 \(A\) 上的关系，只有 \(\vert A \vert\) 个结点。
我们定义二元关系的如下性质，即如果一个二元关系有如下性质，我们就给它们起了其他名字。注意以下全称量词限定的均是元素，而不是关系。
自反性：\((\forall x) (\langle x, x \rangle \in R)\)
对称性：\((\forall x)(\forall y) ((\langle x, y \rangle \in R) \rightarrow (\langle y, x \rangle \in R))\)
传递性：\((\forall x)(\forall y)(\forall z) ((\langle x, y \rangle \in R \land \langle y, z \rangle \in R) \rightarrow (\langle x, z \rangle \in R))\)
反自反：\((\forall x) (\langle x, x \rangle \notin R)\)
反对称：\((\forall x)(\forall y) ((\langle x, y \rangle \in R \land \langle y, x \rangle \in R) \rightarrow (x = y))\)
