[离散数学] 集合论

这里是离散数学集合论的学习笔记qaq

让我们跳过高中部分的知识

---

一个集合的幂集为该集合所有子集所构成的集合，集合 $A$ 的幂集记作 $\mathcal{P}(A)$。

我们通常将论域内所有元素的集合叫做全集。

集合的运算有：

交运算：$A \cap B = \{x | x \in A \land x \in B \}$

并运算：$A \cup B = \{x | x \in A \lor x \in B \}$

补运算：$A - B = \{x | x \in A \land x \notin B \}$

补集：$\overline{A} = E - A$

对称差：$A \oplus B = (A \cup B) - (A \cap B)$

显然我们有 $A - B = A \cap \overline{B}$，那么对称差也可以表示为 $A \oplus B = (A \cup B) \cap (\overline{A} \cup \overline{B}) = (A \cap \overline{B}) \cup (\overline{A} \cap B)$.

有两个元素 $x, y$ 按照一定次序组成的二元组称为序偶，记作 $\langle x, y \rangle$。

定义两个序偶 $\langle a, b \rangle, \langle c, d \rangle$ 相等，当且仅当 $a = c, b = d$。

我们可以递归定义 $n$ 元序偶对，即由 $n$ 个元素 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ 按照次序组成的 $n$ 元序偶对，$\langle a_1, a_2, \cdots, a_n \rangle = \langle \langle a_1, a_2, \cdots, a_{n - 1} \rangle, a_n \rangle$。

我们定义两个集合的笛卡尔积运算，即 $A \times B = \{\langle x, y \rangle | x \in A \land y \in B \}$。

通常 $A \neq B$ 时，$A \times B \neq B \times A$。

注意 $A^n = A^{n - 1} \times A$，注意三元组的定义。即笛卡儿积既没有交换律也没有结合律。

任一序偶的集合确定了一个二元关系 $R$，$R$ 中任意序偶 $\langle x, y \rangle$ 可以记作 $\langle x, y \rangle \in R$ 或者 $x R y$，不在 $R$ 中的任意序偶 $\langle x, y \rangle$ 可记为 $\langle x, y \rangle \notin R$ 或者 $x \not R y$

其中 $x$ 所属的集合称为二元关系的前域，记作 $\operatorname{dom}(R)$，$y$ 所属的集合称为二元关系的值域，记作 $\operatorname{ran}(R)$，它们并在一起称作二元关系 $R$ 的域，记作 $\operatorname{FLD}(R)$。

若 $X, Y$ 为两个集合，笛卡尔积 $X \times Y$ 的子集称为 $X$ 到 $Y$ 的关系。我们将 $X \times Y$ 的两个平凡子集 $X \times Y, \varnothing$ 称为全域关系和空关系。当 $X = Y$ 时，我们将这个关系称为 $X$ 上的二元关系。

显然 $A$ 到 $B$ 的二元关系的数量为 $2^{\vert A \vert \vert B \vert}$。

比较特殊的一个关系是恒等关系，如果 $I_X$ 是 $X$ 上的一个关系，且 $I_X = \{\langle x, x \rangle | x \in X \}$，则称 $I_X$ 为在 $X$ 上的恒等关系。

由于二元关系是集合，所以两个二元关系间也可以做集合间的运算。

除了用集合表示关系，还可以通过关系矩阵来表示关系。即设 $A = \{a_1, a_2, \cdots, a_n \}, B = \{b_1, b_2, \cdots, b_m \}$，$R$ 是 $A$ 到 $B$ 的二元关系，则该关系的关系矩阵为：

$$r_{ij} = \begin{cases} 1, & \langle a_i, b_j \rangle \in R \\ 0, & \langle a_i, b_j \rangle \notin R \end{cases}$$

还有就是关系图法，我们可以将集合 $A, B$ 的所有元素当成结点，这样我们可以将 $\langle a_i, b_j \rangle$ 当作一条有向边。注意在 $A$ 上的关系，只有 $\vert A \vert$ 个结点。

我们定义二元关系的如下性质，即如果一个二元关系有如下性质，我们就给它们起了其他名字。注意以下全称量词限定的均是元素，而不是关系。

自反性：$(\forall x) (\langle x, x \rangle \in R)$

对称性：$(\forall x)(\forall y) ((\langle x, y \rangle \in R) \rightarrow (\langle y, x \rangle \in R))$

传递性：$(\forall x)(\forall y)(\forall z) ((\langle x, y \rangle \in R \land \langle y, z \rangle \in R) \rightarrow (\langle x, z \rangle \in R))$

反自反：$(\forall x) (\langle x, x \rangle \notin R)$

反对称：$(\forall x)(\forall y) ((\langle x, y \rangle \in R \land \langle y, x \rangle \in R) \rightarrow (x = y))$