[线性代数补习课] 投影矩阵

为了学习机器学习，发现自己需要补习一下自己的线性代数知识。但是不太希望在机器学习的原篇堆这些东西，所以就另开一篇记录线性代数知识。

本篇记录的是投影矩阵，为了给出多元线性回归问题正规方程证明。

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1. 四个特殊空间

我们都知道对于一个矩阵有列空间、行空间和零空间。

如果一个 \(n \times m\) 的矩阵 \(A\) 的列向量分别为 \(\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \cdots \mathbf{x}_n\)，这个 \(n\) 个向量所能张成的空间叫做矩阵 \(A\) 的列空间。行空间定义同理。对于零空间，则是所有满足 \(A \mathbf{x} = \mathbf{0}\) 方程的解的向量 \(\mathbf{x}\) 所组成的空间称为零空间。

我们现在需要考虑行空间和零空间的关系，我们可以发现它们是正交的，也即行空间中任意一个向量均与零空间中任意一个向量正交。这时因为由于 \(A \mathbf{x} = \mathbf{0}\)，所以对于任意一个行向量 \(\mathbf{x}_i\) 和零空间中任意一个向量 \(\mathbf{x}\)，都有 \(\mathbf{x}_i \cdot \mathbf{x} = 0\)，进而可知零空间的任意向量与行空间的任意一个基正交，进而得证。

同理我们可知，\(A\) 的列空间与 \(A^{\mathbf{T}}\) 的零空间正交。

2. 投影

我们先在考虑对于两个向量，投影意味着什么。

显然对于两个不共线的向量 \(\mathbf{a}, \mathbf{b}\), \(\mathbf{b}\) 在 \(\mathbf{a}\) 方向上的投影为一个向量 \(\mathbf{p}\)，这个向量满足 \(\mathbf{p} = \lambda \mathbf{a}\)，且 \(\mathbf{b} - \mathbf{p}\) 与 \(\mathbf{a}\) 垂直。

则我们可以根据 \(\mathbf{a}^{\mathbf{T}}(\mathbf{b} - \lambda \mathbf{a}) = 0\)，求出：

\[\lambda = \dfrac{\mathbf{a}^{\mathbf{T}} \mathbf{b}}{\mathbf{a}^{\mathbf{T}} \mathbf{a}} \]

则有： \(\mathbf{p} = \mathbf{a} \dfrac{\mathbf{a}^{\mathbf{T}} \mathbf{b}}{\mathbf{a}^{\mathbf{T}} \mathbf{a}}\)

其实我们可以发现，如果我们令 \(P = \dfrac{\mathbf{a} \mathbf{a}^{\mathbf{T}}}{\mathbf{a}^{\mathbf{T}} \mathbf{a}}\)，那么我们就可以将上面的结果写为 \(\mathbf{p} = P \mathbf{b}\)，其中 \(P\) 即为投影矩阵，其作用即为将任意向量投影到 \(\mathbf{a}\) 的方向上。显然对于向量来说，投影矩阵有下面三条性质：

1. \(R(P) = 1\)；
2. \(P\) 为对称矩阵；
3. \(P = P^2\)

第三条是因为由投影的意义，一个向量已经投影到一个方向后，再求一次到这个方向的投影，这个向量就不会改变了。

为什么我们要研究投影呢，因为我们在解方程 \(A \mathbf{x} = \mathbf{b}\) 的时候，这个方程可能无解。显然 \(\mathbf{b}\) 不在矩阵 \(A\) 的列空间。所以我们希望先将 \(\mathbf{b}\) 投影到这个列空间，假设投影为 \(\mathbf{p}\)，然后再通过求 \(A \hat{\mathbf{x}} = \mathbf{p}\) 的解，将其当作原方程的近似解。

这里解释一下向量到空间的投影，即上面的投影 \(\mathbf{p}\) 需要满足其在 \(A\) 的列空间，且向量 \(\mathbf{b} - \mathbf{p}\) 与列空间中的任意向量垂直。

我们则可以知道 \(\mathbf{b} - \mathbf{p}\) 在 \(A^{\mathbf{T}}\) 的零空间中，即 \(A^{\mathbf{T}}(\mathbf{b} - \mathbf{p}) = \mathbf{0}\)，进而：

\[A^{\mathbf{T}}(\mathbf{b} - A \hat{\mathbf{x}}) = \mathbf{0} \]

则有：

\[\hat{\mathbf{x}} = (A^\mathbf{T} A)^{-1} A^{\mathbf{T}} \mathbf{b} \\ \mathbf{p} = A \hat{\mathbf{x}} = A(A^\mathbf{T} A)^{-1} A^{\mathbf{T}} \mathbf{b} \]

显然我们这里同时也得到了将一个向量投影到 \(A\) 行空间的投影矩阵 \(P\)：

\[P = A(A^\mathbf{T} A)^{-1} A^{\mathbf{T}} \]

对于投影矩阵 \(P\) 来说，我们可以确定的是它仍满足上面的两条性质：

1. \(P\) 为对称矩阵；
2. \(P = P^2\)

由于我们在讨论投影矩阵的时候 \(A\) 通常不为方阵（实际应用中，一般是因为未知量少，方程比较多的情况导致 \(A \mathbf{x} = \mathbf{b}\) 无解），故 \(A^{-1}, (A^{\mathbf{T}})^{-1}\) 是不存在的，进而我们不能将 \((A^\mathbf{T} A)^{-1}\) 化为 \(A^{-1}(A^{\mathbf{T}})^{-1}\)；另外由于公式中要求 \(A^\mathbf{T} A\) 可逆，所以我们需要要求 \(A\) 列满秩。