时隔一年半,学校又开设了离散数学的课程,让我们再次开始新的魔法旅程吧w
由于命题逻辑无法描述特定对象,所以我们要引入谓词逻辑。
我们给出谓词和个体词的概念,由于命题是反映判断的句子,而反映判断的句子是由主语和谓语组成的。我们将主语称为个体词(用小写字母表示),谓语(和宾语)称为谓词(用大写字母表示)。我们可以记作 P(x) 的形式。
和命题一样,个体词也分为个体常量和个体变量。
我们对于一个谓词,我们如果给定其个体变量的值,那么这个谓词就称为谓词填式。
有了谓词,我们定义简单命题函数为:由一个谓词和若干命题变元组成的表达式,而复合命题函数式是将几个简单命题函数用连接词连接成的表达式,它们统称命题函数。
由于命题函数中的个体变量一般会用个体域的限制,为了描述这个限制,我们引入量词:全称量词 ∀x(对于任意的 x)和存在量词 ∃x(存在 x),如果要表明存在唯一的,那么我们就使用 ∃!x。
我们称 x 为量词的管辖变量,在量词后面紧跟的表达式是量词起作用的范围,我们称之为量词的“辖域”。
我们现在需要考虑如何描述个体域,我们可以考虑将个体域的限制当成另一个命题函数加入原命题函数。对于全称量词,我们要将原命题函数改成蕴含式,且将个体域限制当作前件,原命题函数当作后件。对于存在量词,我们要将原命题函数改为合取式,只需让个体域限制合取上原命题函数。
和命题公式一样,我们也可以类似的定义谓词合式公式:
- 单个谓词公式本身为合式公式;
- 如果 A 为合法的合式公式,则 ¬A 也为合法的合式公式;
- 如果 A,B 为合法的合式公式,则 (A∧B),(A∨B),(A→B),(A↔B) 均为合法的合式公式。
- 如果 A 是合法的合式公式,x 是 A 中出现的任何变元,那么 (∀x)A 和 (∃x)A 是合式公式。
- 经过有限次应用法则 1. 2. 3. 4. 拼接所形成的公式为合式公式。
同理,我们可以定义两个谓词合式公式 A,B 的等价:如果它们有共同的个体域 E,如果对 A,B 的任意一组变元进行赋值,所得的命题真值相同,则称谓词公式 A,B 在 E 上是等价的,记作 A⇔B。
同理也有可满足,不可满足,永真,矛盾,蕴含等定义,与命题逻辑相同。
这里给出谓词逻辑中的等价蕴含式:
标号 |
内容 |
标号 |
内容 |
I17 |
((∀x)A(x)∨(∀x)B(x))⇒(∀x)(A(x)∨B(x)) |
I19 |
((∃x)A(x)→(∀x)B(x))⇒(∀x)(A(x)→B(x)) |
I18 |
(∃x)(A(x)∧B(x))⇒((∃x)A(x)∧(∃x)B(x)) |
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|
标号 |
内容 |
标号 |
内容 |
E23 |
(∃x)(A(x)∨B(x))⇔(∃x)A(x)∨(∃x)B(x) |
E29 |
(∃x)(A(x)→B(x))⇔((∀x)A(x)→(∃x)B(x)) |
E24 |
(∀x)(A(x)∧B(x))⇔(∀x)A(x)∧(∀x)B(x) |
E30 |
(∀x)A(x)→B⇔(∃x)(A(x)→B) |
E25 |
¬(∃x)A(x)⇔(∀x)¬A(x) |
E31 |
(∃x)A(x)→B⇔(∀x)(A(x)→B) |
E26 |
¬(∀x)A(x)⇔(∃x)¬A(x) |
E32 |
A→(∀x)B(x)⇔(∀x)(A→B(x)) |
E27 |
(∀x)(A∨B(x))⇔A∨(∀x)B(x) |
E33 |
A→(∃x)B(x)⇔(∃x)(A→B(x)) |
E28 |
(∃x)(A∨B(x))⇔A∨(∃x)B(x) |
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