一些常用的定理&公式

这里会涉及本 blog 中的一些符号的定义，大概会汇总在这里

虽然会比较乱就是了

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一些特殊的约定

\(\circ\) 这里，我们定义 \(0^0 = 1, 0! = 1\) (当然，这么做的意义是让下文中提到的排列数和组合数的阶乘公式在 \(k = 0\) 时仍然成立，以及使二项式定理在 \(a = 0\) 或 \(b = 0\) 时仍然成立)

\(\circ\) 我们用 \(\gcd(a, b)\) 表示整数 \(a, b\) 的最大公因数，用 \(\operatorname{lcm}(a, b)\) 来表示 \(a, b\) 的最小公倍数，\(a \perp b\) 表示 \(a, b\) 互质（即 \(\gcd(a, b) = 1\)）。

\(\circ\) 下面是一些较为常用的且本博客写作可能会用到的数论函数，其表示字符约定如下：（其中 \(p_i\) 为 \(n\) 的质因子）

函数符号	名称或定义	表达式
\(\epsilon(n)\)	狄利克雷卷积意义下的单位元	$$\epsilon(n) = [n = 1]$$
\(1(n)\)		$$1(n) = 1$$
\(\mu(n)\)	莫比乌斯函数，函数 \(1(n)\) 的逆元	\(\mu(n) = \begin{cases} 1 & n = 1 \\ (-1)^t & n = \prod_{i = 1}^t \limits p_i \quad (\forall i, j \in [1, t], i \neq j, p_i \neq p_j) \\ 0 & \text{Otherwise} \end{cases}\)
\(id^k(n)\)		$$id^k(n) = n^k$$
\(\varphi(n)\)	欧拉函数，在 \([1, n]\) 的整数中与 \(n\) 互质的数的个数	$$\varphi(n) = n \prod_{i = 1}^t \limits (1 - \dfrac{1}{p_i})$$
\(\sigma_k(n)\)	\(n\) 的因数的 \(k\) 次方和（\(\sigma_0(n)\) 即为 \(n\) 的因数个数）	$$\sigma_k(n) = \sum_{d \mid n} \limits d^k$$

我们会用 \((f * g)(n)\) 表示数论函数 \(f(n),g(n)\) 的狄利克雷卷积，即 \((f * g)(n) = \sum_{d \mid n} \limits f(d) g(\dfrac {n}{d})\)。

下图中是两个比较常用数论函数的数量级。其中的 \(\omega(n)\) 为 \(n\) 的不同的质因子个数，而 \(d(n)\) 即为上文中的 \(\sigma_0(n)\)。

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艾佛森括号

艾佛森括号 \([P]\) (其中 \(P\) 为一个逻辑表达式，更广泛的来说，是一个可真可假的命题) 是一种方括号记号，如果方括号内的条件满足则为 1，不满足则为 0。

更确切的讲：

\[[P] = \begin{cases} 1 & \text{If $P$ is true;} \\ 0 & \text{Otherwise}\end{cases} \]

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组合数学

\(\circ\) 排列数 \(\mathrm{A}(n,k)\)（也写作 \(\mathrm{A}_n^k\)）的意义为从 \(n\) 个元素的集合 \(S\) 中，取出 \(m\) 个元素组成有序排列的个数。

其公式为：

\[\mathrm{A}(n, k) = \begin{cases} \dfrac {n!} {(n - k)!} & n \ge k \\ 0 & n < k \end{cases} \]

当 \(n \ge k\) 时，我们有：\(\mathrm{A}(n, k) = n^{\underline{k}}\).

\(\circ\) 组合数 \(\mathrm{C}(n,k)\)（也写作 \(\mathrm{C}_n^k\) 或者比较常用的 \(\dbinom{n}{k}\)）的意义为从 \(n\) 个元素的集合 \(S\) 中，无序选取出 \(k\) 个元素的方案数。

其公式为：

\[\mathrm{C}(n,k) = \begin{cases} \dfrac {n!} {k! (n-k)!} & n \ge k \\ 0 & n < k \end{cases} \]

当 \(n \ge k\) 时，我们也可以将其写为下降幂的形式，即 \(\dbinom{n}{k} = \dfrac{n^{\underline{k}}}{k!}\).

\(\circ\) 组合恒等式：

\[\dbinom{n}{m} = \dbinom{n}{n - m}\\ \dbinom{n}{m} = \dbinom{n - 1}{m} + \dbinom{n - 1}{m - 1} \]

\(\circ\) 二项式定理：

\[(a + b)^n = \sum\limits_{k = 0}^{n}\dbinom{n}{k}a^{n - k}b^k \]

除此之外，还有牛顿广义二项式定理，即若 \(\alpha \in \mathbf{R}\)，则有：

\[(1 + x)^{\alpha} = \sum_{k = 0}^{\infty} \dbinom{\alpha}{k} x^k \]

我们根据下降幂定义的广义组合数 \(\dbinom{\alpha}{k} = \dfrac{\alpha^{\underline{k}}}{k!}\)，不难发现，此式即为 \((1 + x)^{\alpha}\) 按泰勒级数的方式展开得到的结果。

\(\circ\) 组合数相关结论

如果将 \(a = 1, b = 1\) 代入二项式定理，可得：

\[\sum_{i = 0}^n \limits \dbinom{n} {i} = 2^n \]

由组合意义，我们可以得到：

\[\dbinom{n}{m} \dbinom{m}{k} = \dbinom{n}{k} \dbinom{n - k}{m - k} \\ \]

有了前两个结论，我们可以推出：

\[\begin{aligned} \sum_{i = 0}^{n} \dbinom{n}{i} i &= \sum_{i = 0}^{n} \dbinom{n}{i} \dbinom{i}{1} \\ &= \sum_{i = 0}^{n} \dbinom{n}{1} \dbinom{n - 1}{i - 1} \\ &= n \sum_{i = 0}^{n - 1} \dbinom{n - 1}{i} \\ &= n 2^{n - 1} \end{aligned} \]

即：

\[\sum_{i = 0}^{n} \dbinom{n} {i} i = n2^{n - 1} \]

再考虑一个组合数的求和问题：

\[\begin{aligned} \sum_{i = l}^{r} \dbinom{n + i}{i} &= \sum_{i = l}^{r} \dbinom{n + i + 1}{i} - \dbinom{n + i}{i - 1} \\ &= \dbinom{n + l + 1}{l} - \dbinom{n + l}{l - 1} + \dbinom{n + l + 2}{l + 1} - \dbinom{n + l + 1}{l} + \cdots +\dbinom{n + r + 1}{r} - \dbinom{n + r}{r - 1}\\ &= \dbinom{n + r + 1}{r} - \dbinom{n + l}{l - 1} \end{aligned} \]

即：

\[\sum_{i = l}^{r} \dbinom{n + i}{i} = \dbinom{n + r + 1}{r} - \dbinom{n + l}{l - 1} \]

由组合意义，我们还可以得到范德蒙德卷积：

\[\sum_{i = 0}^{k} \dbinom{n}{i} \dbinom{m}{k - i} = \dbinom{n + m}{k} \]

其组合意义为从两个大小分别为 \(n, m\) 的集合中一共取出 \(k\) 个元素的方案数。

当 \(n = m = k\) 时，我们就得到了一种特殊情况：

\[\sum_{i = 0}^{n} \dbinom{n}{i}^{2} = \dbinom{2n}{n} \]

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上下取整转化

上下取整转化公式：\(\left\lceil \dfrac {n} {m} \right\rceil = \left\lfloor \dfrac {n - 1} {m} \right\rfloor + 1 = \left\lfloor \dfrac {n + m - 1} {m} \right\rfloor\)

证明：

设 \(n = mk + r\,(k,r \in \mathbf{Z}, 0 \le r < m)\)，其中 \(k = \left\lfloor \dfrac {n} {m} \right\rfloor,r = n \bmod m\)

当 \(r > 0\) 时：

\[\left\lceil \dfrac {n} {m} \right\rceil = \left\lceil \dfrac {mk + r} {m} \right\rceil = \left\lceil k + \dfrac {r} {m} \right\rceil = k + \left\lceil \dfrac {r} {m} \right\rceil = k + 1 \]

\[\left\lfloor \dfrac {n - 1} {m} \right\rfloor + 1 = \left\lfloor \dfrac {mk + r - 1} {m} \right\rfloor + 1 = \left\lfloor k + \dfrac {r - 1} {m} \right\rfloor + 1 = k + 1 + \left\lfloor \dfrac {r - 1} {m} \right\rfloor = k + 1 \]

当 \(r = 0\) 时：

\[\left\lceil \dfrac {n} {m} \right\rceil = \left\lceil \dfrac {mk} {m} \right\rceil = k \]

\[\left\lfloor \dfrac {n - 1} {m} \right\rfloor + 1 = \left\lfloor \dfrac {mk - 1} {m} \right\rfloor + 1 = \left\lfloor k - \dfrac {1} {m} \right\rfloor + 1 = k - 1 + 1 = k \]

故：\(\left\lceil \dfrac {n} {m} \right\rceil = \left\lfloor \dfrac {n - 1} {m} \right\rfloor + 1\)

而 \(\left\lfloor \dfrac {n - 1} {m} \right\rfloor + 1 = \left\lfloor \dfrac {n - 1} {m} \right\rfloor + \dfrac {m} {m} = \left\lfloor \dfrac {n - 1} {m} + \dfrac {m} {m} \right\rfloor = \left\lfloor \dfrac {n + m - 1} {m} \right\rfloor\)，故 \(\left\lceil \dfrac {n} {m} \right\rceil = \left\lfloor \dfrac {n + m - 1} {m} \right\rfloor\)