算法漫游指北（第十三篇）:二叉树的基本概念、满二叉树、完全二叉树、二叉树性质、二叉搜索树、二叉树定义、二叉树的广度优先遍历

一、二叉树

二叉树的基本概念

二叉树是每个节点最多有两个子树的树结构。通常子树被称作“左子树”（left subtree）和“右子树”（right subtree）。

 

两种特殊的二叉树

满二叉树（Full Binary Tree）

一棵满二叉树就是高度为k，且拥有(2^k)-1个节点的二叉树，一棵满二叉树每个节点，要么都有两棵子树，要么都没有子树；而且每一层所有的节点之间必须要么都有两棵子树，要么都没子树。

完全二叉树（Complete Binary Tree）

完全二叉树是一颗特殊的二叉树，它遵循以下规则： 假设完全二叉树高度为k，则完全二叉树需要符合以下两点： 1）所有叶子节点都出现在k层或k-1层，并且从1~k-1层必须达到最大节点数。 2）第k层可以是不满的，但是第k层的所有节点必须集中在最左边。

 

“完全”和“满”的差异，满二叉树一定是完全二叉树，完全二叉树不一定是满的。

 

 

 

二叉树的性质

性质1:

在二叉树的第i层上至多有2^(i-1)个节点（i>0）

 

上图中： 第1层： 1个： 2^(1-1)=2^0=1

第2层： 1个： 2^(2-1)=2^1=2

第3层： 1个： 2^(3-1)=2^2=4

第4层： 8个： 2^(4-1)=2^3=8

通过数据归纳法，很容易得出在二叉树的第i层上最多有2^(i-1)个节点。

 

性质2:

深度为k的二叉树至多有2^k - 1个节点（k>0）

这里注意是2的k次幂再减1。

如果有一层，最多1=2^1-1个节点

如果有两层，最多1+2=2^2-1个节点

如果有三层，最多1+2+4=2^3-1个节点

如果有四层，最多1+2+4+8=2^4-1个节点

通过数据归纳法的论证，可以得出如果有k层，节点数最多为2k-1。

性质3:

对于任意一棵二叉树，如果其叶节点数为N0，而度数为2的节点总数为N2，则N0=N2+1;

终端节点就是叶子节点，而一棵二叉树，除了叶子节点外，剩下的就是度为1和2的节点了，设n1是度为1的节点数。则树T的节点总数就是n=n0+n1+n2。

若度为1的节点有 n1个，总节点个数为n，总边数为 e，则根据二叉树的定义，

n=n0+n1+n2

总边数等于每个节点都有一个边，但是根节点有两个，所以e = n-1。

计算总边数的第二种方式，总边数 = 度数为2的节点数乘以2（因为这个节点有2个边）+加上度数为1的节点数

即 e = n1+2n2.

e = n1+2n2= n-1 (方程式1)

n=n0+n1+n2(方程式2)

两个方程式联合得到结果，

移动方程式1，n=n1+2n2+1 (方程式3)

方程式2与方程式2相减，得到结果 0 = n0 -n2-1

即N0=N2+1

性质4:

具有n个节点的完全二叉树的深度必为 log2(n+1)

对性质1结论进行取对数。

 

性质5:

如果对一棵有n个节点的完全二叉树的节点按层序编号（从第一层到最后一层，每层从左到右），对任一节点i（1<=i<=n）有：

  1. 如果i=1，则节点i是二叉树的根，无双亲；如果i>1，则其双亲是节点 ⌊ i/2 ⌋ 。

  2. 如果2i>n，则节点i无左孩子（节点i为叶子节点）；否则其左孩子是节点2i 。

  3. 如果2i+1>n，则节点i无右孩子；否则其右孩子是节点2i+1 。

 

二叉搜索树定义

  

二叉搜索树(BST)是二叉树的一种，但是它只允许你在左侧节点存储(比父节点)小的值， 在右侧节点存储(比父节点)大(或者等于)的值。

二叉搜索树(Binary Search Tree)，又名二叉排序树(Binary Sort Tree)。   二叉搜索树是具有有以下性质的二叉树：   （1）若左子树不为空，则左子树上所有节点的值均小于或等于它的根节点的值。   （2）若右子树不为空，则右子树上所有节点的值均大于或等于它的根节点的值。   （3）左、右子树也分别为二叉搜索树。

 

二叉树的节点表示以及树的创建

通过使用Node类中定义三个属性，分别为elem本身的值，还有lchild左孩子和rchild右孩子

class Node(object):
    """节点类"""
    def __init__(self, elem, lchild=None, rchild=None):
        self.elem = elem
        self.lchild = lchild
        self.rchild = rchild

#树的创建,创建一个树的类，并给一个root根节点，一开始为空，随后添加节点
class Tree(object):
    """树类"""
    def __init__(self, root=None):
        self.root = root
​
    def add(self, elem):
        """为树添加节点"""
        node = Node(elem)
        #如果树是空的，则对根节点赋值
        if self.root == None:
            self.root = node
            return
        queue = []
        queue.append(self.root)
        #对已有的节点进行层次遍历
        while queue:
            #弹出队列的第一个元素
            cur = queue.pop(0)
            if cur.lchild == None:
                #如果左子树为空，则加到左子树上
                cur.lchild = node
                return
            elif cur.rchild == None:
                #如果右子树为空，则加到右子树上
                cur.rchild = node
                return
            else:
                #如果左右子树都不为空，加入队列继续判断
                queue.append(cur.lchild)
                queue.append(cur.rchild)

　　

　　

二叉树的遍历

树的遍历是树的一种重要的运算。所谓遍历是指对树中所有节点的信息的访问，即依次对树中每个节点访问一次且仅访问一次，我们把这种对所有节点的访问称为遍历（traversal）。那么树的两种重要的遍历模式是深度优先遍历和广度优先遍历,深度优先一般用递归，广度优先一般用队列。一般情况下能用递归实现的算法大部分也能用堆栈来实现(掌握先序、中序、后序的非递归方式)。

 

二叉树的广度优先遍历(层次遍历)

从树的root开始，从上到下从从左到右遍历整个树的节点

 

    def breadth_travel(self):
        """广度遍历"""
        if self.root is None:
            return
        queue = [self.root]
        #这里的队列也可以用python标准库中的collections中的queue
        while queue:
            cur_node = queue.pop(0)
            print(cur_node.elem, end=" ")
            if cur_node.lchild is not None:
                queue.append(cur_node.lchild)
            if cur_node.rchild is not None:
                queue.append(cur_node.rchild)

　　

 

 

参考资料

[1]https://juejin.im/post/5ae91ac9f265da0b83368aec

[2]<<大话数据结构 >>

posted on 2020-07-01 23:16  Nicholas--  阅读(686)  评论(0)  编辑  收藏  举报

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