NOIP2003普及组 麦森数

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题面

形如2^{p-1的素数被称为麦森数，这时P一定也是个素数。但反过来不一定，即P为素数时2}p-1不一定是素数。到1998年年底，人们已经找到了37个麦森数。最大的一个是P=3021377，它有909526位。麦森数有许多重要运用，它与完全数密切相关。

任务：给定一个数P,求出它的后500位数和位数。

解：

1. 循环P次单精度计算

随着P的增大，数的位数也在增大，采用此方法易TLE

2. 快速幂+高精度计算

看上去是可行的，但是题目只要求我们得到后500位即可，如果只是为了求位数而牺牲太多时间也是不划算的。

3.快速幂+高精度500位计算+公式推导

在快速幂和高精度的基础上，我们每次只计算500位，大大的减少时间，那么因此位数的求法就很重要了。

（1）2的次方数的末位均为（2,4,8,6），减去1就不会造成退位，所以2^{p-1的位数等于2}p。

（2）对于10^{X来说，这个数的位数一定是X+1，那我们就可以尝试着把2}p转为10^X，不就可以求出位数了吗？

设10^y=2,则lg（2）=y
所以10^lg(2)=2
那么2^p=(10lg(2))^p
因为(X^a)b=X^ab
所以2^p=10(lg(2)*p)
因为10^X的位数为X+1
所以10^{(lg(2)*p)的位数应该为lg(2)*p+1，则2}p或者2^p-1的位数为lg(2)*p+1

此时应注意向下取整。

在C++中的头文件math里，可以使用*log10(2)*。

    #include<cstdio>
    #include<cmath>
    using namespace std;
    int main(){
        int p;
        scanf("%d",&p);
        int ans=(int)(log10(2)*p+1);
        printf("%d",ans);
        return 0;
    }

这样我们就可以得到位数了。
至于后面的快速幂+高精度就很好解决了。

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