曼哈顿MST学习笔记

曼哈顿MST的学习笔记

这几天一直在验wsydalao的题，需要用到曼哈顿MST，于是赶紧补一下功课。

定义

• 曼哈顿距离：平面上两点\((x_1,y_1)\)和\((x_2,y_2)\)之间的曼哈顿距离为：\(|x_1-x_2|+|y_1-y_2|\)（为了方便我们之后简称为\(dis\)）
• 曼哈顿MST：平面上若干个点，他们两两之间存在一条权为其\(dis\)的边，求这个图的最小生成树

朴素做法

• 考虑两两之间暴力连边，之后跑一下最短路
• 但这样时间复杂度显然是无法接受的
• 你会发现我们并没有利用这是一个平面图的性质

定理

• 在曼哈顿MST中，对于点\((x,y)\)，以其为\((0,0)\)建系，并且将四个象限共分为八份。
• 可以证明：\((x,y)\)只可能与某个区域中\(dis\)最小的点连边，每个区域最多连一个
• 所以只需要\(8N\)条边

证明(不太严谨)

设原点为\(A\)，以\(R_1\)区域为例，有两点\(B(x_1,y_1),C(x_2,y_2)\)在\(R_1\)区域，并且有\(dis(A,B) \leq dis(A,C)​\)

由图可知，对于在\(R_1\)区域中的所有点\(i\)，都有\(x_i<y_i\)

• 若\(x_1 \leq x_2\)且\(y_1 \leq y_2\)

  \(\therefore dis(B,C) = (x_2 - x_1) + (y_2-y_1) = AC-AB\)

  \(\therefore dis(A,B) + dis(B,C) = dis(A,C)\)

  \(\therefore dis(B,C) < dis(A,C)\)

  \(\therefore\) 在此情况下，连接\(BC\)和\(AB\)一定优于\(AC\)和\(AB​\)

• 若\(x_1 \leq x_2 ​\)且\(y_1 > y_2​\)

  \(\therefore AC - BC = [x_2-(x_2-x_1)] +[y_2-(y_1-y_2)] = x_1 - y_1 + 2y_2\)

  假设$AC < BC $ ，则：\(x_1-y_1+2y_2 < 0 \Rightarrow y_1 > x_1 + 2y_2\)

  两边同时加上\(x_1\)得：\(dis(A,B) = x_1 + y_1 > 2x_1 + 2y_2 > x_1 + 2y_2 > 2y_2\)

  $\because x_1 \leq x_2 < y_2 < y_1,dis(A,C) = x_2 + y_2 $

  \(\therefore dis(A,C) = x_2 +y _2 < 2y_2 < dis(A,B)\)

  与前提\(dis(A,B) \leq dis(A,C)\)不符，所以假设不成立，所以\(AC \leq BC\)

  \(\therefore\) 在此情况下，连接\(BC\)和\(AB\)一定优于\(AC\)和\(AB\)

• 若$ x_1 > x_2 $ 且 $ y_1 \leq y_2 $ ，同理可证

• 若$ x_1 > x_2 $ 且 $ y_1 > y_2​ $

  \(\therefore x_1 + y_1 > x_2 + y_2​\)

  与\(dis(A,B) \leq dis(A,C)\)不符，所以不成立

综上所述，在\(R_1\)内，必有\(AB+BC > AB+AC\)，且\(B\)为在\(R_1\)离\(A\)最近的点

所以，\(A\)在\(R_1\)内只能连最近点

\(R_2,R_3,R_4...R_8\)同理可证

实现

• 遍历所有点，找出其8个区域内的最近点连边
• 跑一遍最小生成树

实际上，由于生成树的边具有双向性，所以我们只考虑一四象限即可，也就是只考虑4个区域

假设我们的原点为\((x,y)\)

• \(R_1​\): 设最近点为\((x_1,y_1)​\)，则\(dis = x_1 - x+ y_1 - y​\)最小，由于此时\(x,y​\)是定值，我们只需要使得\(x_1+y_1​\)最小即可。所以\(R_1​\)最近的点为：在所有\(x_i>x,y_i-y>x_i-x \Rightarrow x+y > x_i-y_i​\)的点中，\(x_i+y_i​\)最小的点
• \(R_2​\)：设最近点为\((x_1,y_1)​\)，则\(dis = x_1 - x+ y_1 - y​\)最小，由于此时\(x,y​\)是定值，我们只需要使得\(x_1+y_1​\)最小即可。所以\(R_2​\)最近的点为：在所有\(x_i>x,y_i-y<x_i-x \Rightarrow x+y < x_i-y_i​\)的点中，\(x_i+y_i​\)最小的点
• \(R_3\)：设最近点为\((x_1,y_1)\)，则\(dis = x_1 - x+ y - y_1\)最小，由于此时\(x,y\)是定值，我们只需要使得\(x_1-y_1\)最小即可。所以\(R_3\)最近的点为：在所有\(x_i>x,y-y_i<x_i-x \Rightarrow x+y < x_i+y_i\)的点中，\(x_i-y_i\)最小的点
• \(R_4\)：设最近点为\((x_1,y_1)\)，则\(dis = x_1 - x+ y - y_1\)最小，由于此时\(x,y\)是定值，我们只需要使得\(x_1-y_1\)最小即可。所以\(R_4\)最近的点为：在所有\(x_i>x,y-y_i>x_i-x \Rightarrow x+y > x_i+y_i\)的点中，\(x_i-y_i\)最小的点

那么我们发现，这些信息始终离不开横纵坐标相加减，并且目标点必须在现在点的右侧，于是我们先把所有点按横坐标排序；再把\(xi+yi\)作为第一关键字，\(x_i-y_i\)作为第二关键字维护一个数据结构\(T\)

关于这个数据结构可以考虑权值线段树、权值树状数组或者平衡树