洛谷 P1082 同余方程（同余&&exgcd）
嗯...
题目链接：https://www.luogu.org/problem/P1082
这道题很明显涉及到了同余和exgcd的问题，下面推导一下：
首先证明有解情况：
ax + by = m有解的必要条件是 m mod gcd(a, b) = 0
a为gcd(a, b)的倍数，b为gcd(a, b)的倍数，x、y为整数，
所以ax + by是gcd(a, b)的倍数，所以m是gcd(a, b)的倍数
然后证明a、b互质（下面会用到）：
本题中1 mod gcd(a, b) = 0，所以gcd(a, b) = 1，所以a、b互质
同余：
a≡b(mod n) --> 含义：a和b关于模n同余，即 a mod n = b mod n。
所以不难推出，a≡b的充要条件是a-b是n的整数倍（a > b）。
因为a-b是n的整数倍，所以a-b = ny（y为倍数）
所以，根据同余，我们可以把本题中的同余式转化为（注：这里的a.b与上文不同）：
ax≡1(modb) --> ax % b = 1 % b --> ax - 1 = by --> ax - by = 1
下一步，便进行exgcd（关于exgcd的证明见：https://www.luogu.org/problemnew/solution/P1082），分别求出ax - by = 1中x和y的值。
最后进行答案处理：
因为答案要求是x的最小正整数，所以我们进行一个答案处理：x = (x % b + b) % b
证明其正确性：
设新得到的x为xn，x = kb + q（q < b）则：
x % b = q ，把x % b = q带入 xn = (x % b + b) % b，得
xn = (x % b + b) % b = (q + b) % b = (q % b + b % b) % b = q % b = q
把xn = q带入x = kb + q，得，x = kb + xn， 所以xn = x - kb，然后再根据下面的推导得知它是正确的...
证明：
x批量地减去或加上 b，能保证 ax + by = ax + by = 1：
ax + by = 1
ax + by + k*ba - k*ba = 1
a (x + kb) + (y - ka) b = 1
1.显然这并不会把方程中任何整数变成非整数。
2.“加上或减去 b”不会使 x 错过任何解。可以这么理解：
已经求出一组整数 x,y 使得 ax+by =1 ，也就是(1 - ax) / b = y。y 是整数，可见目前 1−ax 是 b 的倍数。现在想改变 x并使得方程仍然成立。
已知 a,b 互质，假若x的变化量Δx不是b的倍数，则1−ax 的变化量−a*Δx也不是 bb 的倍数，这会使得1-ax不再是b的倍数，则y不是整数了。
仅当x的变化量是b的倍数时，1−ax能保持自己是b的倍数，此时就出现新的解了。
AC代码：
1 #include<cstdio> 2 #include<iostream> 3 4 using namespace std; 5 //ax % b == 1 % b --> ax - 1 = y * b --> ax - yb == 1 6 7 long long d, x, y; 8 9 inline void exgcd(long long a, long long b, long long &d, long long &x, long long &y){ 10 if(!b) {d = a; x = 1; y = 0;} 11 else{ exgcd(b, a % b, d, y, x); y -= x * (a / b);} 12 } 13 int main(){ 14 long long a,b; 15 scanf("%lld%lld", &a, &b); 16 exgcd(a, b, d, x, y); 17 x = (x % b + b) % b; 18 printf("%lld", x); 19 return 0; 20 }
