SDOI Day1

好了做了SDOI day1的3道题，来讲下做法及感想吧

T1：排序（暴力，搜索）

题目：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3990

我们可以很轻易的发现，对于一个操作方案，交换两个操作顺序不会影响答案，因此我们可以从小到大枚举答案，可以发现，对于第i种操作过后，每个2^i的块必须是连续的

那么在第i种操作之前，最多只能有2个块不连续，那么如果没有块不连续，不用执行该种操作；只有一个块不连续，交换这个块的两小块；两个块分4种情况讨论，用dfs暴力搜索即可

时间复杂度看上去是O(4^N)，但好像可以证出复杂度其实是O(2^NlogN)N=20都能跑过

CODE：

 1 #include<cstdio>
 2 #include<iostream>
 3 #include<cstring>
 4 #include<algorithm>
 5 using namespace std;
 6 #define maxn 5000
 7 int a[maxn],n,f[15];
 8 long long ans=0;
 9 inline void _swap(int *a,int *b,int step) {
10     for (int i=1;i<=step;i++) swap(a[i],b[i]);
11 }
12 inline bool check(int x,int y) {return a[x+y]+1==a[x+y+1];}
13 int dfs(int x,int y) {
14     if (x==n+1) return ans+=f[y];
15     int w[5],cnt=0;
16     int step=1<<(x-1);
17     for (int i=0;i<1<<n;i+=1<<x) {
18         if (!check(i,step)) w[++cnt]=i;
19         if (cnt>2) return 0;
20     }
21     if (cnt==0) dfs(x+1,y);
22     if (cnt==1) {
23         _swap(a+w[1],a+w[1]+step,step);
24         if (check(w[1],step)) dfs(x+1,y+1);
25         _swap(a+w[1],a+w[1]+step,step);
26     }
27     if (cnt==2) {
28         int *l1=a+w[1],*l2=a+w[2],*r1=a+w[1]+step,*r2=a+w[2]+step;
29         _swap(l1,l2,step);
30         if (check(w[1],step)&&check(w[2],step)) dfs(x+1,y+1);
31         _swap(l1,l2,step);
32         _swap(l1,r2,step);
33         if (check(w[1],step)&&check(w[2],step)) dfs(x+1,y+1);
34         _swap(l1,r2,step);
35         _swap(r1,l2,step);
36         if (check(w[1],step)&&check(w[2],step)) dfs(x+1,y+1);
37         _swap(r1,l2,step);
38         _swap(r1,r2,step);
39         if (check(w[1],step)&&check(w[2],step)) dfs(x+1,y+1);
40         _swap(r1,r2,step);
41     }
42 }
43 
44 int main(){
45     scanf("%d",&n);
46     f[0]=1;
47     for (int i=1;i<=n;i++) f[i]=f[i-1]*i;
48     for (int i=1;i<=(1<<n);i++) {
49         scanf("%d",a+i);
50         a[i]--;
51     }
52     dfs(1,0);
53     printf("%lld\n",ans);
54     return 0;
55 }
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T2：寻宝游戏（平衡树，dfn序）

题目：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3991

这道题真的想不出来啊= =

贴下同学的题解吧= =

 

大概就是这样子的，看上去还是非常的形象的，但我根本没想到啊QAQ

Code:

  1 #include<cstdio>
  2 #include<iostream>
  3 #include<cstring>
  4 #include<algorithm>
  5 #include<set>
  6 #include<vector>
  7 using namespace std;
  8 typedef long long ll;
  9 #define maxn 101000
 10 #define maxk 23
 11 struct edges{
 12     int to,next,dist;
 13 }edge[maxn*2];
 14 int q[maxn],f[maxn][maxk],g[maxn],dfn[maxn];
 15 struct cmp{
 16     bool operator ()(int x,int y) {return dfn[x]<dfn[y];}
 17 };
 18 set<int,cmp> ma;
 19 int next[maxn],l;
 20 inline void addedge(int x,int y,int z) {
 21     edge[++l]=(edges){y,next[x],z};next[x]=l;
 22     edge[++l]=(edges){x,next[y],z};next[y]=l;
 23 }
 24 int fa[maxn],dep[maxn],n,s[maxn];
 25 ll dis[maxn];
 26 inline void bfs(){
 27     q[1]=1;
 28     for (int l=1,r=1,u=q[1];l<=r;u=q[++l]) {
 29         f[u][0]=fa[u];
 30         for (int i=1;i<maxk;i++) {
 31             if (f[f[u][i-1]][i-1]==0) break;
 32             f[u][i]=f[f[u][i-1]][i-1];
 33         }
 34         for (int i=next[u];i;i=edge[i].next) {
 35             if (edge[i].to==fa[u]) continue;
 36             fa[edge[i].to]=u;dis[edge[i].to]=dis[u]+edge[i].dist;
 37             dep[edge[i].to]=dep[u]+1;
 38             q[++r]=edge[i].to;
 39         }
 40     }
 41     for (int i=n;i>1;i--) {
 42         int u=q[i];
 43         s[u]++;s[fa[u]]+=s[u];
 44     }
 45     s[1]++;
 46     for (int i=1;i<=n;i++) {
 47         int u=q[i];
 48         dfn[u]=g[fa[u]]+1;
 49         g[fa[u]]+=s[u];
 50         g[u]=dfn[u];
 51     }
 52 }
 53 inline int up(int x,int y) {
 54     for (int i=0;i<maxk;i++) if ((1<<i)&y) x=f[x][i];
 55     return x;
 56 }
 57 inline int lca(int x,int y) {
 58     if (dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
 59     x=up(x,dep[x]-dep[y]);
 60     if (x==y) return x;
 61     for (int i=maxk-1;i+1;i--) {
 62         if (f[x][i]==f[y][i]) continue;
 63         x=f[x][i];y=f[y][i];
 64     }
 65     return f[x][0];
 66 }
 67 inline ll getdist(int x,int y) {return dis[x]+dis[y]-dis[lca(x,y)]*2;}
 68 ll ans;
 69 typedef set<int,cmp>::iterator iter;
 70 inline void ins(int x) {
 71     if (ma.size()==0) {
 72         ma.insert(x);return ;
 73     }
 74     if (ma.size()==1) {
 75         ans=getdist(x,*ma.begin());
 76         ma.insert(x);
 77         return ;
 78     }
 79     iter it=ma.lower_bound(x);
 80     iter last=it;it--;
 81     if (last!=ma.end()&&last!=ma.begin()) ans-=getdist(*it,*last);
 82     if (last!=ma.begin()) ans+=getdist(*it,x);
 83     if (last!=ma.end()) ans+=getdist(x,*last);
 84     ma.insert(x);
 85 }    
 86 inline void del(int x){
 87     ma.erase(x);
 88     if (ma.size()==0) return ;
 89     if (ma.size()==1) {
 90         ans=0;return ;
 91     }
 92     iter it=ma.lower_bound(x);
 93     iter last=it;it--;
 94     if (last!=ma.end()&&last!=ma.begin()) ans+=getdist(*it,*last);
 95     if (last!=ma.begin()) ans-=getdist(*it,x);
 96     if (last!=ma.end()) ans-=getdist(x,*last);
 97 }
 98 bool b[maxn];
 99 int main(){
100     int m;
101     scanf("%d%d",&n,&m);
102     for (int i=1;i<n;i++) {
103         int x,y,z;
104         scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
105         addedge(x,y,z);
106     }
107     bfs();
108     for (int i=1;i<=m;i++) {
109         int x;
110         scanf("%d",&x);
111         b[x]^=1;
112         if (b[x]) ins(x);
113         else del(x);
114         if (ma.size()>=2) printf("%lld\n",ans+getdist(*ma.begin(),*ma.rbegin()));
115         else printf("0\n");
116     }
117     return 0;
118 }
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T3：序列统计（FFT）

题目：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3992

这道题分明就是原题好不好= =

首先我们可以很容易的写出状态转移f[i][[j*a[k]]+=f[i-1][j];

30%的分数可用矩阵乘法优化

我们取下离散对数（就是mod m意义下的），然后这个方程就变成了f[i][ind[j]+ind[a[k]]]+=sigma(f[i-1][ind[j]*cnt[inda[k]])

可以发现变成了卷积形式了，好像可以用fft优化了

但发现n很大

借鉴一下矩阵乘法的优化，可以发现多项式乘法满足结合律，那么我们可以愉快的学习快速幂的形式，变成f0*cnt^n次方了

时间复杂度是 mlogm logn完美解决本题

还有一件事，求离散对数可以不用大步小步法，因为p很小，可以直接p^2求出来

顺便提下原题是lydcjj(greenclouds)的kpmcup#1中的T1（ORZ），除了取离散对数其他都一模一样的

要不是做了MX的组合数和看过云神的题，还真不一定做得出来

总结一下：

作为省选题，还是很不错的

思考复杂度都不低（虽然有人说3道都是原题QAQ，自己还是太弱）但是编程复杂度并不高，前两道都能秒，第3道套个fft模板也能秒

还是这种考思维的比较好玩，像陈老师这种业界毒瘤的数据结构题真是丧心病狂(づ￣ 3￣)づ

 Code:

 1 #include<cstdio>
 2 #include<iostream>
 3 #include<cstring>
 4 #include<algorithm>
 5 using namespace std;
 6 typedef long long ll;
 7 const int mod=1004535809;
 8 #define maxn 80100
 9 // template
10 inline int power(ll x,int y,int mod) {
11     ll t=1;
12     for (;y;y>>=1,(x*=x)%=mod) 
13         if (y&1) (t*=x)%=mod;
14     return t;
15 }
16 int w[maxn];
17 void fft(int *a,int n,int dep=0) {
18     if (n==1) return ;
19     static int tmp[maxn];
20     int mid=n>>1;
21     fft(a,mid,dep+1);fft(a+(1<<dep),mid,dep+1);
22     for (int i=0;i<mid;i++) {
23         int s=a[(i<<1)<<dep];
24         int t=a[(i<<1|1)<<dep]*1ll*w[i<<dep]%mod;
25         tmp[i]=(s+t)%mod;
26         tmp[i+mid]=(s-t)%mod;
27     }
28     for (int i=0;i<n;i++) a[i<<dep]=tmp[i];
29 }
30 int fft_g=3;
31 int N;
32 inline void fft_init(){
33     w[0]=1;
34     int step=power(fft_g,(mod-1)/N,mod);
35     for (int i=0;i<N-1;i++) w[i+1]=w[i]*1ll*step%mod;
36 }
37 int p;
38 bool isroot(int x) {
39     int sum=1;
40     for (int i=1;i<p-1;i++) {
41         (sum*=x)%=p;
42         if (sum==1) return 0;
43     }
44     return 1;
45 }
46 int n,X,S;
47 int ind[maxn];
48 int f[maxn],g[maxn],invN;
49 inline void prepare(){
50     scanf("%d%d%d%d",&n,&p,&X,&S);
51     int root=0;
52     for (int i=1;i<p&&!root;i++) if (isroot(i)) root=i;
53     
54     for (int i=0,j=1;i<p-1;i++,(j*=root)%=p) ind[j]=i;
55     for (int i=1;i<=S;i++) {
56         int x;
57         scanf("%d",&x);
58         if (x) g[ind[x]]=1;
59     }
60     N=p<<1;
61     while (N&(N-1)) N++;
62     invN=power(N,mod-2,mod);
63     fft_init();
64 }
65 inline void muil(int *x,int *g){
66     static int y[maxn];
67     for (int i=0;i<N;i++) y[i]=g[i];
68     fft(x,N),fft(y,N);
69     for (int i=0;i<N;i++) x[i]=x[i]*1ll*y[i]%mod;
70     reverse(w+1,w+N);
71     fft(x,N);
72     reverse(w+1,w+N);
73     for (int i=0;i<N;i++) x[i]=x[i]*1ll*invN%mod;
74     for (int i=p-1;i<N;i++) (x[i%(p-1)]+=x[i])%=mod,x[i]=0;
75 }
76 inline int solve(){
77     f[0]=1;
78     for (;n;n>>=1) {
79         if (n&1) muil(f,g);
80         muil(g,g);
81     }
82     return (f[ind[X]]+mod)%mod;
83 }
84 int main(){
85     prepare();
86     printf("%d\n",solve());
87     return 0;
88 }
View Code
posted @ 2015-04-20 20:19  New_Godess  阅读(297)  评论(0)  编辑  收藏  举报