BZOJ3437: 小P的牧场

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简要题意：

　　一条线上有n个点，每个点都有一个权值，每个点都可以选择放置一个监测器，假设i点有监测器，那么假设i点左边最靠近i点的监测器在j点，那么i点的监测器就可以监测j+1到i的所有点

　　每个点放置监测器都有花费（这个花费不是点的权值），而且假设在y点放置了监测器，并且y点的监测器监测了x到y的所有点，那么除了放置监测器的花费之外，还需要将x到y-1里的点消耗额外的花费：设k点在x到y-1的点中，那么k点会消耗y点与k点之间的点数（不算k点，但是算y点）乘上k的权值

　　要求能监测到n个点（也意味着第n个点必须要放监测器）的最小费用

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题解：

　　DP，数据范围太大只能DP

　　f[i]表示在第i个位置放置监测器的最小费用，显然直接DP会T

　　那么就斜率优化

　　f[i]=min(f[j]+a[i]+(i-(j+1))*b[j+1]+(i-(j+2))*b[j+2]...)

　　其实可以发现

　　f[i]=min(f[j]+a[i]+i*b[j+1]-(j+1)*b[j+1]+i*b[j+2]-(j+2)*b[j+2]...)

　　f[i]=min(f[j]+a[i]+i*(b[j+1]+b[j+2]+...)-(j+1)*b[j+1]-(j+2)*b[j+2]...)

　　设sb[i]=b[1]+b[2]+...+b[i]

　　cb[i]=b[1]*1+b[2]*2+b[3]*3...+b[i]*i

　　然后就得到f[i]=min(f[j]+a[i]+i*(sb[i-1]-sb[j])-(cb[i-1]-cb[j]))

　　接着化简斜率方程，设j1<j2<i

　　(f[j2]-f[j1]+cb[j2]-cb[j1])/(sb[j2]-sb[j1])<i的时候，淘汰j1

　　然后A了，要加long long

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参考代码：

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL f[1100000];
LL a[1100000],b[1100000];
LL sb[1100000],cb[1100000];
//f[i]=min(f[j]+a[i]+i*(sb[i-1]-sb[j])-(cb[i-1]-cb[j]))
double slop(int j1,int j2)//(f[j2]-f[j1]+cb[j2]-cb[j1])/(sb[j2]-sb[j1])<i
{
    return (f[j2]-f[j1]+cb[j2]-cb[j1])/(sb[j2]-sb[j1]);
}
int list[1100000];
int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&a[i]);
    sb[0]=0;cb[0]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%lld",&b[i]);
        sb[i]=sb[i-1]+b[i];
        b[i]*=i;
        cb[i]=cb[i-1]+b[i];
    }
    int head=1,tail=1;list[1]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        while(head<tail&&slop(list[head],list[head+1])<double(i)) head++;
        int j=list[head];
        f[i]=f[j]+a[i]+i*(sb[i-1]-sb[j])-(cb[i-1]-cb[j]);
        while(head<tail&&slop(list[tail-1],list[tail])>slop(list[tail],i)) tail--;
        list[++tail]=i;
    }
    printf("%lld\n",f[n]);
    return 0;
}