「题解」序列操作

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思路

用线段树维护，设 \(f_{u,k}\) 为在 \(u\) 结点选出 \(k\) 个数相乘，所有乘积的总和。

向上合并时显然 \(f_{u,k}=\sum_{i=0}^{k}f_{l,i}\cdot f_{r,k-i}\)。

接下来考虑区间取反操作，## 描述

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思路

用线段树维护，设 \(f_{u,k}\) 为在 \(u\) 结点选出 \(k\) 个数相乘，所有乘积的总和。

向上合并时显然 \(f_{u,k}=\sum_{i=0}^{k}f_{l,i}\cdot f_{r,k-i}\)。

接下来考虑区间取反操作，容易发现，当 \(k\) 为偶数时，\(-1\) 全部抵消，不会有任何影响；当 \(k\) 为奇数时，\(f_{u,k}=-f_{u,k}\)。

区间加操作是本题的灵魂。举一个例子以助于更好地理解。\(k=3\)，操作前的序列为 \(\{a_1,a_2,a_3,a_4\}\)，这一次操作是整体加 \(v\)。也就是要从 \(\{a_1+v,a_2+v,a_3+v,a_4+v\}\) 中选取 \(3\) 个数，计算乘积的总和，即计算 \((a_1+v)(a_2+v)(a_3+v)+(a_1+v)(a_2+v)(a_4+v)+(a_1+v)(a_3+v)(a_4+v)+(a_2+v)(a_3+v)(a_4+v)\)。

可以看作在 \(n\) 个数中选出了 \(c\) 个分为一组，有若干组。

枚举再每一组中选了 \(j\) 个 \(v\)，选了 \(k-j\) 个原来的 \(a\)，每一组的答案为 \(v\times(\) 在这一组中选出 \(k-j\) 个数的乘积之和 \()\)。

当 \(j=1\) 时，对应到例子上来，就是 \(v(a_2a_3+a_1a_3+a_1a_2)+v(a_2a_4+a_1a_4+a_1a_2)+v(a_3a_4+a_1a_4+a_1a_3)+v(a_3a_4+a_2a_4+a_2a_3)\)。

我们要求出每一组的任意 \(k-j\) 个数的乘积的方案，在所有组的方案中出现了多少次。

可以发现，这要一个组中出现了这 \(k-j\) 个数，那么它的所有方案中也有且仅有一个方案包含这 \(k-j\) 个数。

于是，就相当于固定住了这 \(k-j\) 个数，剩下的数随便选。