【树状数组·进阶篇】树状数组实现平衡树（树状数组上二分）

\(Preface\)

余未曾想到，树状数组居然是一个这么高端的东西。

从未想到过树状数组上还可以二分，从未想到过树状数组还能实现平衡树的功能。

唔姆，树状数组果然也是美丽的，余喜欢一切美丽的东西。

树状数组上二分

众所周知，树状数组上的\(a_i\)维护的是\(\sum_{k=i-lowbit(i)+1}^ival_k\)。

考虑强行令树状数组的大小为\(2\)的幂。

每次二分边界\([l,r]\)，中点就是\(mid\)。

然后就会发现，因为树状数组大小是\(2\)的幂，每次二分其实就相当于在判断二进制下某一位是否能填作\(1\)。

因此，\(a_{mid}\)的值实际上就等于\(\sum_{k=l}^{mid}val_k\)！

唔姆，假设树状数组的\(val_i\)表示等于\(i\)的数的个数，那么\(a_{mid}\)的值等同于值在\([l,mid]\)范围内的数的个数。

于是就能轻松实现第\(k\)大的询问了。

模板：普通平衡树

其实只要能够求第\(k\)大，平衡树的其他操作都非常简单了，前驱/后继都可以转化为询问排名再询问第\(k\)大的操作。

唯一一个特殊注意点，就是由于这道题中值可能为负，需要把每个数都加上\(10^7\)再操作。

代码\(class\)封装，码风毒瘤（尽管在这道题中体现不多）。

/*友情提醒：I表示inline，可忽略；RI表示register int，CI表示const int&，可以直接视作int；W表示while*/
class TreeArray//树状数组实现平衡树 
{
	private:
		#define V (1<<25)//V存储总值域，必须为2的幂 
		#define P 10000000//因为存在负数，所有数据都要加上P
		int a[V+5];I void U(RI x,CI v) {W(x<=V) a[x]+=v,x+=x&-x;}//后缀修改 
		I int Q(RI x,RI t=0) {W(x) t+=a[x],x-=x&-x;return t;}//求前缀和（小于等于x的数的个数） 
	public:
		I int Kth(RI k) {RI l=1,r=V,mid;W(l^r) a[mid=l+r>>1]<k?(k-=a[mid],l=mid+1):r=mid;return l-P;}//树状数组上二分询问第k大
		I void Add(CI x) {U(x+P,1);}I void Del(CI x) {U(x+P,-1);}I int Rk(CI x) {return Q(x+P-1)+1;}//插入；删除；询问排名 
		I int Pre(CI x) {return Kth(Q(x+P-1));}I int Nxt(CI x) {return Kth(Q(x+P)+1);}//前驱；后继 
};

[省选联考 2020 A/B 卷] 冰火战士

• 有两个数组\(Ice_i,Fire_i\)。
• 每次操作修改某个数组中某个位置上的数。（始终非负）
• 每次操作完求一个最大的整数\(k\)，使得\(\min\{\sum_{i\le k}Ice_i,\sum_{i\ge k}Fire_i\}\)最大，并求出这个最大值。
• 操作数量\(\le2\times 10^6\)

很显然，\(f(k)=\sum_{i\le k}Ice_i\)随\(k\)增大递增，\(g(k)=\sum_{i\ge k}Fire_i\)随\(k\)增大递减。

那么根据初中函数知识就可以知道，要使最小值最大，就是求两个函数的交点。

题目很简单，可惜这道题居然卡线段树！

这时候就要请出树状数组上二分啦！

每次先二分出最大的\(k\)满足\(f(k)<g(k)\)，由于\(k\)是整数因此不一定能找到交点，还要比较\(f(k)\)与\(g(k+1)\)谁更大。

求出最大值之后，还要再次树状数组上二分求出最大的\(k\)。

大致思路差不多就这样啦。

\(Postscript\)

树状数组最大的优点就是代码短、常数小，因此真的真的是个非常美丽的算法哦！