【$Polya$定理·应用篇】$Polya$定理的几种模型简介

\(Preface\)

初步了解\(Polya\)定理之后，余便开始研究它的应用。

根据论文里的记载，整理了一下其中的例题。

似乎都是一些远古题库，其中SGU这个题库余竟未曾听说过，而且也找不到（好像已经炸了）。

前置知识

• 【\(Polya\)定理·入门篇】浅尝辄止的\(Polya\)定理

例一：【SGU294 】He's Circles

标签：环 莫比乌斯反演

• 给定一个长度为\(n\)的环。
• 对它进行黑白染色，问有多少种本质不同的方案。
• 可以旋转得到视为本质相同。
• \(n\le 2\times 10^5\)

环上\(Polya\)定理的板子题。

考虑转\(i\)位置换中环的个数就是\(gcd(i,n)\)，因此答案式为：

\[\frac1{|G|}\sum_{i=1}^sm^{c(g_i)}=\frac1n\sum_{i=1}^n2^{gcd(i,n)} \]

看到\(gcd\)自然而然想到莫比乌斯反演。

因为莫比乌斯反演并非本文的重点，下面的式子可能会比较简略。

枚举\(gcd\)得到：

\[\frac1n\sum_{d|n}2^d\sum_{i=1}^{\frac nd}[gcd(i,\frac nd)=1] \]

容易发现后面就是一个\(\phi\)的形式，得到：

\[\frac1n\sum_{d|n}2^d\phi(\frac nd) \]

这道题应该是\(Polya\)定理最基础的应用题了。

例二：【UVA10601】Cubes

标签：立方体 组合数学

• 给定\(12\)根木棒，每根木棒有一种颜色，且颜色总数不超过\(6\)。
• 用这些木棒拼成一个立方体，问有多少种本质不同的方案。
• 可以旋转得到视为本质相同。
• 数据组数\(\le60\)。

余的做法

余一开始的想法，就是立方体旋来旋去太麻烦了，不如直接考虑最终结果。

假设\(1\)号点与\(2\)号点相连，只要枚举\(1\)号点的位置（\(8\)种），再枚举\(2\)号点与\(1\)号点的相对位置（\(3\)种），就能够确定旋转后的立方体了（\(8\times 3=24\)种）。

讲道理这个做法应该是正确的，然而这东西并不太好实现，一开始想手打一个表，最后嫌过于繁琐放弃了。

默默点开了题解。。。

题解的做法

考虑立方体的\(4\)种旋转方式：（本题重点！！！）

• 不动。\(1\)种方案，每个等价类大小为\(1\)。
• 绕一组相对顶点旋转。\(4\)对顶点，每对\(2\)种方案，每个等价类大小为\(3\)（同色标出）。

• 绕一组相对的棱转动。\(6\)对棱，每对仅\(1\)种方案，\(2\)个等价类大小为\(1\)，\(5\)个等价类大小为\(2\)。

• 平行转动。\(3\)个方向，旋转\(90°\)或\(270°\)时每个等价类大小为\(4\)（如图），旋转\(180°\)时每个等价类大小为\(2\)（不想画了）。

考虑这题中每种颜色的数量是定死的，因此无法直接套用\(Polya\)定理，而应该使用\(Burnside\)引理。

发现除绕一组相对的棱转动的情况以外，其余情况每个等价类大小都是相等的。

而棱的情况其实可以直接暴枚两个大小为\(1\)的等价类中的元素，则剩下的等价类大小也是相等的。

此时要计算方案数，假设等价类大小都为\(x\)，如果某个\(c_i\)（颜色\(i\)的个数）不是\(x\)的倍数，显然方案数为\(0\)。

否则，令所有\(c_i\)除以\(x\)，设其总和为\(t\)，方案数就是可重全排列\(\frac{t!}{\prod c_i!}\)。

例三：【SPOJ419/SPOJ422】Transportation is (Even More) Fun

标签：环 巧妙转化 莫比乌斯反演

• 给定一个\(2^a\times 2^b\)的矩阵，要求把它变成它的转置矩阵，但保持矩阵形状不变。
• 每次操作只能交换两个元素，问至少操作几次。
• 询问组数\(\le100\)/询问组数\(\le4\times 10^5\)，\(a+b\le10^6\)。

什么？说好的\(Polya\)定理呢？为何画风突变？

把一个位置到它对应位置的转变表示成置换，然后就会发现，设这个置换有\(t\)个循环，则答案就是\(2^{a+b}-t\)。

这应该非常显然，因为一个大小为\(n\)的循环只需操作\(n-1\)次。

其实呢，若把原序列中的\((i,j)\)表示成\(i\times 2^b+j\)，而它在转置矩阵中对应的位置就是\(j\times 2^b+i\)。

如果把\(i\times 2^b+j\)这个二进制数看成一个环，那么从\(i\times 2^b+j\)到\(j\times 2^b+i\)其实就是向右转了\(b\)位。

于是经转化得到了一个新问题：

• 给定一个长度为\(n\)的环。
• 对它进行黑白染色，问有多少种本质不同的方案。
• 可经每次旋转\(b\)位得到视为本质相同。

好嘞，这家伙与\(Polya\)定理板子的区别仅仅在于每次旋转\(b\)位。

一个显然的事实，旋转\(b\)位的等价类个数就是\(g=gcd(b,a+b)=gcd(a,b)\)，且每个等价类大小都为\(\frac{a+b}g\)。

于是可以把一个循环看成一个点，点数就是\(n=\frac{a+b}g\)，颜色数目就是\(2^g\)。

得到式子：（推导过程可参考例一）

\[\frac1n\sum_{d|n}(2^g)^d\times \phi(\frac nd) \]

当然别忘了最终答案是\(2^{a+b}\)减去它。

例四：【SGU282】Isomorphism

标签：无向图 除去冗余

• 给定一个\(n\)个点的无向完全图。
• 把每条边染成\(m\)种颜色的一种，问有多少种本质不同的方案。
• 可以改变节点编号得到视为本质相同。
• \(n\le 53,m\le1000\)

本题中置换群的对象就是这\(\frac{n(n-1)}2\)条边，但由于置换的数量达到\(n!\)，显然不可以裸暴力。

假设点的置换是\(i\rightarrow P_i\)，则边的置换就是\((i,j)\rightarrow(P_i,P_j)\)。

考虑两种置换循环节个数的关系，发现：

• 若点\(i,j\)属于同一长度为\(x\)的循环中，\((i,j)\)组成的置换中循环节个数为\(\lfloor\frac x2\rfloor\)。
• 若点\(i,j\)分别属于长度为\(x,y\)的两个循环中，\((i,j)\)组成的置换中循环节个数为\(gcd(x,y)\)。

因此，如果一个点置换长度分别为\(L_1,L_2,...,L_s\)，则边置换的循环节总数就是：

\[T=\sum_{i=1}^s\lfloor\frac{L_i}2\rfloor+\sum_{i=1}^{s-1}\sum_{j=i+1}^sgcd(L_i,L_j) \]

那么就需要求满足循环节长度为\(L_1,L_2,...,L_s\)的边置换数目，也就是把\(1\sim n\)放入大小分别为\(L_1,L_2,...,L_s\)的环的方案数。

如果\(L\)互不相同，方案数就是：

\[\frac{n!}{\prod_{i=1}^sL_i} \]

而若可能有相同的\(L\)，同样大小的环就会造成重复贡献。

因此假设有\(t\)种不同的值，并设\(C_i\)表示第\(i\)种值的个数，方案数就是：

\[S=\frac{n!}{\prod_{i=1}^sL_i\prod_{i=1}^tC_i!} \]

最终答案就是：（\(T,S\)的值如上所示，注意这其实是一个\(Polya\)定理的形式，只是在\(m^{c(g_i)}\)之前乘上了一个方案数）

\[\frac1{n!}\sum S\times m^T \]

这道题的核心思想就是把相似的情况放在一起讨论，除去冗余的方法在\(Polya\)计数问题中是一个很有用的优化。

参考文献

2008 - 陈瑜希《Pólya计数法的应用》

\(Postscript\)

以上就是对\(Polya\)定理几种常见模型（环、立方体、无向图）以及优化技巧（莫比乌斯反演、除去冗余）的介绍了。

余希望自己的努力能让更多人认识到\(Polya\)定理这个美丽的算法。