【$Polya$定理·入门篇】浅尝辄止的$Polya$定理

\(Preface\)

群论里的东西。

感觉跟着论文一步步看下来还是挺好理解的吧。

前置知识

• 【莫比乌斯反演·入门篇】懵逼钨丝反演：和\(Polya\)定理的推导无关，但要做板子题就需要它。

群论的基本知识

群

群自然是群论中最为基础的定义。

若对于一个集合\(G\)以及一个给定的二元运算\(*\)，满足以下条件：

• 封闭性： \(\forall a,b\in G,a*b\in G\)。
• 结合律： \(\forall a,b,c\in G,(a*b)*c=a*(b*c)\)。
• 单位元： \(\exists e\in G,\forall a\in G,a*e=e*a=a\)。
• 逆元： \(\forall a\in G,\exists b\in G,a*b=b*a=e\)。

就称集合\(G\)在运算\(*\)之下是一个群。

置换群

置换群中的元素是置换（置换是什么相信大家都知道），运算就是置换的连接。

这是一个相对简单的概念，余就不多说了。

\(Polya\)定理的推导

公式：\(|E_k|\times |Z_k|=|G|\)

此处\(G\)是一个\(1\sim n\)的置换群，而\(k\)是\(1\sim n\)的某个元素。

\(Z_k\)（\(k\)不动置换类）： \(G\)中使\(k\)保持不变的所有置换记作\(Z_k\)。（简称\(k\)不动置换类）

\(E_k\)（等价类）：\(k\)在\(G\)的作用下能够变化得到的所有元素的集合记作\(E_k\)。

根据定义，其实很容易就能证明上面公式的正确性。

\(Burnside\)引理

首先介绍一个新的定义：

\(D(a_j)\)：在置换\(a_j\)下不变的元素个数。

由于\(|Z_k|\)表示的是使\(k\)不变的置换个数，\(D(a_j)\)表示的是置换\(a_j\)下不变的元素个数，二者显然可以建立一个等量关系：

\[\sum_{k=1}^n|Z_k|=\sum_{j=1}^sD(a_j) \]

然后，假设共有\(N=\{1,2,...,n\}\)中共有\(L\)个等价类（注意，\(L\)就是一般情况下要求的东西），即设\(N=E_1+E_2+...+E_L\)。

重新考虑\(\sum_{k=1}^n|Z_k|\)，就可以发现：

\[\sum_{k=1}^n|Z_k|=\sum_{i=1}^L\sum_{k\in E_i}|Z_k|=\sum_{i=1}^L|E_i|\times|Z_i| \]

根据最早的那个公式，\(|E_k|\times |Z_k|=|G|\)，得到：

\[\sum_{k=1}^n|Z_k|=L\times |G| \]

简单移项得到：

\[L=\frac1{|G|}\sum_{k=1}^n|Z_k|=\frac1{|G|}\sum_{j=1}^sD(a_j) \]

\(Polya\)定理

考虑到在\(Burnside\)引理中的\(D(a_j)\)依旧不好算。

定义一个置换\(g_i\)的循环个数为\(c(g_i)\)。

容易发现，对于\(g_i\)同一循环节中的元素涂上相同颜色所得方案数\(m^{c(g_i)}\)，就等于\(a_i\)作用下不变的图象数。

也就是说：

\[L=\frac1{|G|}\sum_{i=1}^sm^{c(g_i)} \]

这就是\(Polya\)定理的公式了。

\(Polya\)定理模板题

题目链接：【洛谷4980】【模板】Polya定理。

考虑本质不同只需要判旋转，因此共有\(n\)种置换方式，其中第\(i\)种置换方式就是将所有数转\(i\)位。

显然，第\(i\)种置换中环的个数应该是\(gcd(i,n)\)，因此得到答案的式子为：

\[\frac1n\sum_{i=1}^nn^{gcd(i,n)} \]

看到\(gcd\)，自然而然想到莫比乌斯反演，按照它的经典套路，枚举\(gcd\)：

\[\frac1n\sum_{d|n}n^d\sum_{i=1}^{\frac nd}[gcd(i,\frac nd)=1] \]

其中，后半部分的式子显然就是\(\phi(\frac nd)\)，也就是：

\[\frac 1n\sum_{d|n}n^d\phi(\frac nd) \]

因此，枚举\(d\)，然后暴力计算\(\phi(\frac nd)\)，这道题就做完了。

参考文献

2001 - 符文杰：《Pólya原理及其应用》

\(Postscript\)

\(Polya\)定理感觉应该是一个很有用的计数工具，但它的题目也都很难，余还要多加研究。。。