【莫比乌斯反演·入门篇】懵逼钨丝反演

\(Preface\)

莫比乌斯反演是一种看似高深的数学知识（所以被萌新们称作懵逼钨丝反演），可实际上有一定了解之后，就会发现也不过那点套路啦~~~

因此，本文主要是对莫比乌斯反演的相关定义以及基本套路的介绍。

前置知识

• 狄利克雷卷积： 这个东西比较简单，其实也就在一些定理证明上会派上用场，不会也罢。实在想知道的可自行百度。
• 除法分块： 这个就很有用了，是莫比乌斯反演题的常客，或许可以看看这篇博客：除法分块及其应用。

莫比乌斯函数

定义

莫比乌斯函数，符号为\(\mu(d)\)，它的具体定义如下：

\[\mu(d)=\begin{cases}1&d=1\\(-1)^k&d=\prod_{i=1}^kp_i,p_i\in Prime(\forall i\not=j,p_i\not=p_j)\\0&\exists p\in Prime,p^2|d\end{cases} \]

唔姆，余不太用得来数学符号，上面的式子可能有些诡异。

但信（罗）仰（马）又不允许余在公式里使用中文，因此下面再放一份文字描述：

• 若\(d=1\)，\(\mu(d)=1\)。（积性函数的共通性质）
• 若\(d\)能分解为\(k\)个不相同的质数的乘积，\(\mu(d)=(-1)^k\)。
• 若\(d\)包含相同的质因子，\(\mu(d)=0\)。

性质\(1\)：\(\sum_{d|n}\mu(d)=[n=1]\)

这是一个基本性质，用狄利克雷卷积的形式表示就是：

\[\mu*I=e \]

性质\(2\)：\(\sum_{d|n}\frac{\mu(d)}d=\frac{\phi(n)}n\)

这个东西其实很好证的啦，把两式同时乘上\(n\)，得到：

\[\sum_{d|n}\mu(d)\times\frac nd=\phi(n) \]

其实这东西完全可以写成狄利克雷卷积的形式，也就是：

\[\mu*id=\phi \]

这个东西怎么来的呢？

首先要知道\(\mu*I=e\)（上面有了），\(\phi*I=id\)（欧拉函数的性质，这里就不证明了），\(f*e=f\)（元函数的性质，其中\(f\)为任意函数）。

那么，只要在②式两边同时卷个\(\mu\)，就会发现\(I\)刚好和它消掉了，也就得到了要证的式子。

莫比乌斯反演定理

公式

\[F(n)=\sum_{d|n}f(d)\Leftrightarrow f(d)=\sum_{d|n}\mu(d)F(\frac nd) \]

证明

考虑如何证明，同样需要狄利克雷卷积的知识。

显然这两个式子分别为：

\[\begin{align}F=f*I\\f=\mu*F\end{align} \]

然后就发现这一步证明和前面性质\(2\)的证明非常像，只要在②式两边同时卷个\(I\)，就得到①式啦！

是不是顿悟了？那就尽情地夸赞余吧！

补充说明

实际上吶，这个定理使用得并不多。

（但还是有的，而且用得非常妙：【BZOJ4833】[Lydsy1704月赛] 最小公倍佩尔数。）

而做莫比乌斯反演题更常见的解题方式将在下面进行介绍。

莫比乌斯反演的基本套路

例题

给出一道典型例题：【BZOJ1101】[POI2007] Zap。

唔姆，下面就来介绍一下余的做法。

套路一

考虑题目中给出的式子：

\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[gcd(i,j)=d] \]

下面介绍第一个经典套路，对于\(gcd(i,j)\)，一般做法就是枚举\(gcd\)。

但由于此题中已经限定\(gcd(i,j)=d\)（唔姆，似乎例题选得不太好？），因此无需枚举，直接将\(i,j\)都除以\(d\)，得到：

\[\sum_{i=1}^{\lfloor\frac nd\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac md\rfloor}[gcd(i,j)=1] \]

套路二

第二个套路，对于\([gcd(i,j)=1]\)，利用\(\sum_{d|n}\mu(d)=[n=1]\)这个基本性质，把它用莫比乌斯函数表示得到：

\[\sum_{i=1}^{\lfloor\frac nd\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac md\rfloor}\sum_{p|i,p|j}\mu(p) \]

其实核心目的就是去掉带有中括号的布尔值表达式。

然后调整枚举顺序，将\(p\)提前得到：

\[\sum_{p=1}^{min(\lfloor\frac nd\rfloor,\lfloor\frac md\rfloor)}\mu(p)\lfloor\frac n{dp}\rfloor\lfloor\frac m{dp}\rfloor \]

实际上熟练之后这些也都可以一步完成。

最后的求解

只需要除法分块就可以了。

总结

基本步骤就是上面的两个套路啦，可以多做些板子题去体会体会。

你会发现，即便是再华丽的剧场，莫比乌斯反演在其中扮演的角色基本上也就只有这两招而已。

\(Postscript\)

以上就是莫比乌斯反演的基本套路了，其他一些更高级的套路余或许会在做过更多题目之后去介绍。

完结撒花。