【$Kruskal$重构树·入门篇】瓶颈生成树问题的杀手

\(Preface\)

听说\(Kruskal\)重构树是一个冷门数据结构？怀有这种想法的人大可去看看NOI2018Day1T1以及APIO2020T2，看看它的重要性。

\(Kruskal\)重构树一般用于做只能在边权大于等于/小于等于\(v\)的边上走路之类的问题，它具有许多奇妙的性质。

构建方法

\(Kruskal\)求\(MST\)的算法应该是众所周知的，而\(Kruskal\)重构树的构建就建立在这一算法的基础上。

根据\(Kruskal\)算法的思想，要先将边按边权排序，然后每次选出权值最大/最小且两端尚未连通的边，将这条边加入到\(MST\)中。

\(Kruskal\)重构树会把\(MST\)中的边也看作点，对于每个连通块都要维护一棵二叉树。

每当选出一条新边时，就让它作为它连接的两个连通块的根节点的父亲。

显然，最终会建成一棵由\(2n-1\)个节点构成的二叉树，而这就是\(Kruskal\)重构树。

性质

1. \(Kruskal\)重构树中的叶节点对应原图中的点，非叶节点对应原图中的边。
2. 令每个非叶节点的点权为所对应边的边权，根据\(Kruskal\)重构树的建法，任意一条从非叶节点到根节点的路径，所经点的点权必然是单调的。
3. 对于原图中的两点\(x,y\)，从\(x\)到\(y\)的瓶颈就是\(Kruskal\)重构树中\(LCA(x,y)\)的点权。

重要结论

从\(x\)出发只经过边权大于等于/小于等于\(v\)的边所能到达的点集，就是\(x\)深度最小的点权大于等于\(v\)/小于等于\(v\)的祖先子树内所有的叶节点。（可由性质\(3\)推导）

实际求解时可以利用性质\(2\)中点权的单调性倍增上跳\(O(logn)\)求出这个祖先。

[NOI2018] 归程

• 给定一个无向图，每条边有一个长度以及一个海拔。
• 多组询问，每次给定起点以及一个限制\(h\)。要求从起点出发，先开车走海拔大于等于\(h\)的边到达某一节点，然后步行到达\(1\)号点。求最短的步行路程。
• 数据组数\(\le 3\)，\(n\le2\times10^5\)，\(m\le2\times10^5\)，\(Q\le4\times 10^5\)。（强制在线）

以海拔为关键字建出原图的\(Kruskal\)生成树。

根据先前提到的重要结论，我们可以\(O(logn)\)求出从起点出发开车能到达的点集，而答案就是这些点到\(1\)号点的最短路的最小值。

每个点到\(1\)号点的最短路可以事先\(Dijkstra\)预处理。

只要对于\(Kruskal\)重构树上的每个点维护一下子树内叶节点最短路的最小值即可。

于是一道NOI题目就这样做完了。

\(Postscript\)

唔姆，发现NOI似乎特别喜欢图论题？

觉得一些图论算法还是非常有必要的，尽管重复考的概率不大，但万一呢？