CodeForces - 1114C Trailing Loves (or L'oeufs?)（分解质因数）

CF1114C Trailing Loves (or L'oeufs?)

题目大意：

给定\(n\)，求\(n!\)在\(b\)进制下末尾\(0\)的个数。

思路：

我们以十进制来举例子。

进制数\(10 = 2 \times 5\)

比如说一个十进制数\(20\)，末尾有一个\(0\)，将\(20\)质因数分解为\(20 = 2^{2} \times 5\)

十进制\(100\)，末尾有两个\(0\)，将其质因数分解为\(100 = 2^{2} \times 5^{2}\)

十进制数\(1000\)，末尾有三个\(0\)，将其质因数分解为\(1000 = 2^{3} \times 5^{3}\)

……

不难发现其规律。

设进制数\(b\) \(=\) \(p_1^{r_1}\)\(\times\)\(p_2^{r_2}\)\(\times\)…\(\times\)\(p_k^{r_k}\)，质数\(p_1\)，\(p_2\)，…，\(p_k\)在\(n!\)中的次数分别为\(cnt_1\)，\(cnt_2\)，…，\(cnt_k\)，答案为\(min(⌊\frac{cnt_1}{p_1}⌋,⌊\frac{cnt_2}{p_2}⌋…⌊\frac{cnt_k}{p_k}⌋)\)

对于求\(n!\)中每一个质数出现的次数，我们再举一个例子。

比如\(5!\)中质数\(2\)的出现次数：

\(5 / 2 = 2\)

\(2 / 2 = 1\)

\(1 / 2 = 0\)

你会发现将等式右边的数求和正好是\(2\)的出现次数。

Formally，对于质数\(p\)，其在\(n!\)中的出现次数为：\(\sum_{i=1}^{r}{\lfloor {\frac{n}{p^i}}\rfloor}(p^r \le n , p^{r+1} > n)\)

Code：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 10010;
const LL INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;

struct Prime {
    LL num, tot;
}p[N];
LL cnt;
void pff(LL x) { //分解质因数
    for (LL i = 2; i * i <= x; i++) {
        while (x % i == 0) {
            x /= i;
            if (p[cnt].num == i) p[cnt].tot++;
            else p[++cnt].num = i, p[cnt].tot = 1;
        }
    }
    if (x > 1) {
        if (p[cnt].num == x) p[cnt].tot++;
        else p[++cnt].num = x, p[cnt].tot = 1;
    }
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); cout.tie(0);
    LL n, b; cin >> n >> b;
    pff(b);
    LL ans = INF;
    for (int i = 1; i <= cnt; i++) {
        LL mul = 1, now = 0;
        while (n / mul >= p[i].num) {
            mul *= p[i].num;
            now += n / mul;
        }
        ans = min(ans, now / p[i].tot);
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}