【BZOJ3684】大朋友和多叉树(拉格朗日反演)
题意
求满足如下条件的多叉树个数：
1.每一个点的儿子个数在给定的集合 \(S\) 内
2.总的叶子节点树为 \(s\)
儿子之间有顺序关系，但节点是没有标号的。
Sol
拉格朗日反演板子题。
(似乎不像是个反演)
拉格朗日反演:
用来求 复合逆。
如果两个多项式 \(F(x),G(x)\) 满足常数项均为 0，一次项均不为 0，并且 \(G(F(x))=x\)，那么称 \(F(x)\) 与 \(G(x)\) 互为复合逆(其实就是反函数)。
其中 \(F(x)\) 和 \(G(x)\) 可以互换。
结论如下:
证明工作及实际做法:
这个式子里怎么有 \(x^{-1}\) 啊...据说是抽象代数里的，直接懵逼。
先不管这些，假装我们允许下标为负，先来随便乱推一下这个式子。
这里写成了形式幂级数的形式。
我们两边对 \(x\) 求导。
两边同时除掉 \(F^n(x)\)，取 \([x^{-1}]\)(我也不知道我在干什么)
当 \(i\neq n\) 时，\(F^{i-n-1}(x)F'(x)=\dfrac{\big(F^{i-n}(x)\big)'}{i-n}\)
求导后 \(x^{-1}\) 项系数一定是 0。
所以只考虑 \(i=n\) 的情况。
这时
后面那个多项式能够求逆，它的逆的常数项显然为 1，因此不存在 \(-1\) 次方项。
而前面那个多项式的 \([x^{-1}]\) 就是 : \(\frac{a_1}{a_1}=1\)
所以 : \([x^{-1}] F^{-1}(x)F'(x)=1\)
所以由之前的式子:
\([x^{-1}]na_nF^{-1}(x)F'(x)=[x^{-1}]\frac{1}{F^n(x)}\)
那么就证完了:
但是我们并没有办法直接求解 \([x^{-1}]\)，所以我们可以把下标移动一下。
这里面乘了个 \(x^n\)，哪里来的 \(x^{n-1}\) 系数啊，然后\(F(x)\)还没有逆我怎么求啊 \(QAQ\)
注意到 \(F(x)\) 常数项为 \(0\)，而一次项不为 \(0\)
于是乎:
这个好像就有 \(x^{n-1}\)了，而且还有逆，万事大吉。
回到本题，按照小朋友和二叉树的套路直接弄个生成函数。
设 \(F(x)\) 是生成一棵含 \(i\) 个叶子节点的合法的树的这个数列的生成函数 。
生成方式显然就是把一堆子树组合起来。
枚举有几个儿子，注意这里我们的下标表示的是叶子个数，所以后面的多项式不用乘上 \(x\) 并且由于一个节点是一个叶子，应该给 \(x^1\) 方项系数加 \(1\)
移个项:
发现复合函数!
令 \(G(x)=x-\sum_{i\in S}x^i\)
那么:
我们要求的是\(F(x)\)的第 \(s\) 次方项系数然后就是套公式的事了。
什么你说你不想写 多项式快速幂 ?
注意到我们是在 \(bzoj\) 上进行评测，时间限制是总时间。
所以我们直接写倍增快速幂就能在 \(bzoj\) 上通过此题(OWO)。
#include<bits/stdc++.h>
#define Set(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define Clear(a,_begin_,_end_) for(int i=_begin_;i<_end_;++i) a[i]=0
using namespace std;
const int N=1e5+10,MAXN=N<<2;
const int mod=950009857,phi=mod-1;
template <typename T> inline void init(T&x){
x=0;char ch=getchar();bool t=0;
for(;ch>'9'||ch<'0';ch=getchar()) if(ch=='-') t=1;
for(;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar()) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch-48);
if(t) x=-x;return;
}
typedef long long ll;
template<typename T>inline void Inc(T&x,int y){x+=y;if(x>=mod) x-=mod;return;}
template<typename T>inline void Dec(T&x,int y){x-=y;if(x < 0) x+=mod;return;}
template<typename T>inline int fpow(int x,T k){int ret=1;for(;k;k>>=1,x=(ll)x*x%mod) if(k&1) ret=(ll)ret*x%mod;return ret;}
inline int Sum(int x,int y){x+=y;if(x>=mod) return x-mod;return x;}
inline int Dif(int x,int y){x-=y;if(x < 0 ) return x+mod;return x;}
int rader[MAXN],wn[30],iwn[30],Inv[MAXN];
inline void Calc(){
for(int i=0;i<30;++i) wn[i]=fpow(7,phi/(1<<i)),iwn[i]=fpow(wn[i],mod-2);
Inv[1]=1;for(int i=2;i<MAXN;++i) Inv[i]=(ll)(mod-mod/i)*Inv[mod%i]%mod;return;
}
inline int Init(int n){int len=1,up=-1;while(len<=n)len<<=1,++up;for(int i=1;i<len;++i) rader[i]=(rader[i>>1]>>1)|((i&1)<<up);return len;}
inline void NTT(int*A,int n,int f){
for(int i=1;i<n;++i) if(rader[i]>i) swap(A[i],A[rader[i]]);
for(int i=1,h=1;i<n;++h,i<<=1){
int W= (~f) ? wn[h]:iwn[h];
for(int j=0,p=i<<1;j<n;j+=p)
for(int w=1,k=0;k<i;++k,w=(ll)W*w%mod){
int X=A[j|k],Y=(ll)w*A[j|k|i]%mod;
A[j|k]=Sum(X,Y),A[j|k|i]=Dif(X,Y);
}
}if(!~f) for(int i=0;i<n;++i) A[i]=(ll)A[i]*Inv[n]%mod;
}
int n,m;
inline void Poly_Inv(int*F,int*I,int n){
if(n==1) {I[0]=1;return;}
Poly_Inv(F,I,(n+1)>>1);int len=Init(n<<1);
static int A[MAXN];for(int i=0;i<n;++i) A[i]=F[i];Clear(A,n,len);
NTT(A,len,1);NTT(I,len,1);
for(int i=0;i<len;++i) I[i]=Dif(2ll*I[i]%mod,(ll)I[i]*I[i]%mod*A[i]%mod);
NTT(I,len,-1);Clear(I,n,len);return;
}
int main()
{
Calc();init(n),init(m);
static int A[MAXN],G[MAXN];int x;
for(int i=1;i<=m;++i) init(x),A[x-1]=phi;A[0]=1;
int k=n;G[0]=1;int len=Init(n<<1);
while(k) {
NTT(A,len,1);
if(k&1) {
NTT(G,len,1);
for(int i=0;i<len;++i) G[i]=(ll)G[i]*A[i]%mod;
NTT(G,len,-1);Clear(G,n,len);
}
for(int i=0;i<len;++i) A[i]=(ll)A[i]*A[i]%mod;
NTT(A,len,-1);Clear(A,n,len);k>>=1;
}
Set(A,0);Poly_Inv(G,A,n);
int ans=(ll)A[n-1]*Inv[n]%mod;
cout<<ans<<endl;
return 0;
}
