动态树(Link-Cut-Tree)简单总结(指针版本)
Link-Cut-Tree(动态树 LCT)
1.定义
1. 偏爱子节点: 一颗子树内最后访问的点若在该子树根节点 X 的某个儿子节点 P 的子树中，则称 P 为 X 的偏爱子节点。
2. 偏爱边:连向偏爱子节点的边。
3. 偏爱路径:一条全为偏爱边构成的路径(一定是一条链，类似于树链剖分的重链)
4. 每一条偏爱路径(以下直接写做重链)都由一棵Splay来进行维护.
注意:
- LCT不一定是二叉树。
- 若 p->fa==NULL 则p为其所在 LCT 的树根
3. Splay -> 路径（且一定是树上的一条链）
4. LCT -> 一棵树(由多棵Splay构成的森林)
5. 整张图 -> 多棵 LCT 构成的森林(好几片Splay构成的森林)
6. Splay作为辅助树，改变的只是 LCT 中的轻重边关系
7. 基本的结构体变量
struct node{
node* fa;node* son[2];
bool rev,is_root;//区间反转标记和是否是Splay的根
}
2.基本操作
代码均使用指针。
可自己画图以理解。
注:以下代码中有:
#define __ NULL
#define ls son[0]
#define rs son[1]
#define get_son(a) (a->fa->rs==a)
- Splay的操作(为了适应LCT有些改动)
void rotate(node* p)
{
if(p->is_root) return;
register node* q=p->fa;register node* gp=q->fa;
register int k=get_son(p);
q->son[k]=p->son[k^1];
if(p->son[k^1]!=__) p->son[k^1]->fa=q;
p->fa=gp;
if(q->is_root) q->is_root=0,p->is_root=1;
//由于不能影响到另一棵Splay,要用 is_root 判断
else if(gp!=__) gp->son[get_son(q)]=p;
q->fa=p;p->son[k^1]=q;//记住旋转时指针指向的变更顺序!!
return;
}
void Splay(node* p)
{
if(p==__) return;
push(p);//在Splay到根之前要先下传标记(区间反转)
while(!p->is_root){//别旋出去啦!
if(p->fa->is_root) {rotate(p);break;}
if(get_son(p)==get_son(p->fa)) rotate(p->fa);
else rotate(p);rotate(p);
}
return ;
}
2.\(access(p)\) 访问某节点
void access(node* p)//访问某节点 p ,单独开辟一条路到节点 p ;
{
register node* pre=__;
while(p!=__){
Splay(p);
if(p->rs!=__) p->rs->is_root=1;
p->rs=pre;//切断右子树(不同Splay的父亲记录只从子到父)
if(pre!=__) pre->is_root=0;
//pre一定是上一棵Splay的根,要把它加到另一棵Splay中;
//updata(p);(更新)
pre=p;p=p->fa;
}
}
3.\(makeroot(p)\) 使p变为其所在LCT的根节点
void m_root(node* p)//使某个点成为根
{
if(p==__) return;
access(p);Splay(p);//连一条从树根到 p 的路径
p->rev^=1;
/*
因为树根的深度应要是最小的,上面操作只是让 p 成为了原树根所在Splay的根,
但他仅有左子树,深度最大,故还应该反转该Splay,使得 p 成为真正的根
(即保证深度为整棵LCT中深度最小的点);
上述操作并不会改变原树的结构
*/
}
4.\(Link(u,v)\) 连接u，v所在的LCT，使之变为一棵LCT
void Link(node* p,node* q)
{
m_root(p);//不改变p所在树的结构,只是将p提取出来便于操作
p->fa=q;//连接了两棵LCT改变了原图的结构(连的边是轻边,不用updata)
}
5.\(split(u,v)\) 分离出u->v这条路径，其上的点都在一颗Splay中，可迅速获得路径上的信息
void split(node* p,node* q){
m_ root(p);
access(q);
Splay(q);
}
6.\(Cut(u,v)\)砍断边\((u，v)\)分成两棵LCT
void Cut(node* p,node* q)
{
split(p,q);
if(q->ls==p) p->fa=q->ls=__,p->is_root=1;
//此时q所在Splay仅有他一个节点
}
6.标记的下放
void push_down(node* p)
{
if(p==__||p->rev==0) return;
p->rev=0;
if(p->ls!=__) p->ls->rev^=1;if(p->rs!=__) p->rs->rev^=1;
swap(p->ls,p->rs);
}
void push(node* p){//数据不大时可写成递归版本
h=1;st[h]=p;
while(!p->is_root) st[++h]=(p=p->fa);
for(int i=h;i;i--) push_down(st[i]);
}
void push(node* p)//递归版本
{
if(p==__) return;
if(p->is_root==0) push(p->fa);
push_down(p);
}
7.\(find(p)\) 返回p所在LCT的根节点(通常用于判断两点是否联通)
node* find(node* p)
{
for(access(p),Splay(p);p->ls!=__;p=p->ls);
return p;
}
3.LCT的应用
LCT可以很方便的提取出两点之间的路径和改变原树的形态，因此在处理一些树上的路径问题非常行之有效。
1.动态询问两点之间的连通性
例题.LuoguP2147 [SDOI2008]Cave 洞穴勘测 用find操作即可
2.动态询问树上两点间的距离
例题1.BZOJ2002: [Hnoi2010]Bounce 弹飞绵羊
题解
例题2.LuoguP3721 [AH2017/HNOI2017]单旋
题解
3.各种树上路径问题
例题1.BZOJ3669: [Noi2014]魔法森林 动态维护最小生成树
题解
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