欧拉函数简单总结
欧拉筛法&欧拉函数
1.欧拉筛法
1. 原理
通过枚举一个1～n的数和已筛出的质数，他们的积为一个合数
2. 代码实现
for(int i=2;i<=n;i++){
if(!vis[i]) prime[++tot]=i;
for(int j=1;j<=tot;j++){
if(1ll*i*prime[j]>n) break;//大于时退出
vis[i*prime[j]]=1;//质数的倍数不是质数
if(i%prime[j]==0) break; //!!!重要优化
//令i=k*prime[j] 则 i*prime[j+x] 在i枚举到 k*prime[j+x]时
//即会被筛去，为了防止重复筛除, break 掉;
}
}
2. 欧拉函数
1. 理论知识
1. 定义: 欧拉函数 \(\varphi(x)\) 为小于等于\(x\)且与\(x\)互质的数的个数
2. 重要性质
○1.\(\varphi(p)=p-1\) (\(p\)是质数).
○2.\(\varphi(x)\)为积性函数 即 \(\varphi (p*q)= \varphi (p)*\varphi (q)\) 其中 p,q互质 .
○3.\(\varphi (p^k)=(p-1)\ p^{k-1}\) (p是质数).
○4.当p为质数且\(p|x\)时，\(\varphi (x*p)=\varphi (x)*p\)
○5.设n是一个正整数,\(\sum_{d|n}\varphi(d)=n\)
○6.设\(1<=k<=n\),那么有\(\sum_{(k,n)=1}k=\frac12n\varphi(n)\)
○7.若a与n互质,那么若\(a^n\equiv b (mod\;p)\)则\(a^{n\;mod\;\varphi(p)}\equiv b(mod\;p)\)(由欧拉定理易得)
○8.若\(a^n\equiv b (mod\;p)\)则\(a^{n\;mod\;\varphi(p)+\varphi(p)} \equiv b(mod\;p)\)扩展欧拉定理(不要求a和p互质)
性质3的证明:
\(\because p^k\) 仅含有 \(p\) 这一个质因子故小于 \(p^k\)的不与之互质的数仅有\(p\)的倍数，共有\(\dfrac{p^k}{p}=p^{k-1}\)个
即$\varphi (pk)=pk-p{k-1}=p*(p-1) $即证
性质4的证明:
\(\because p|x\)令P为x的质因子集合\((1-1/P)=(1-1/p_1)*...*(1-1/p_n)\)
\(\therefore \varphi(x)=x*(1-1/P) ,\varphi(p)=p-1\)
\(\therefore \varphi (x*p)=(x*p)(1-1/P)\) (引入p后质因子集合不变 \(\because p\)是\(x\)的质因子)
\(\therefore \varphi(x*p)=x*(1-1/P)*p= \varphi(x)*p,\) 即证
2. 求法 ：
通项公式:$$\varphi(x)=x*\prod(1-\frac1{p_i})其中p为x的质因子$$
证明如下:
预备知识:
1. \(\varphi(p)=p-1\) ( $ p $ 是质数 )
2. 唯一分解定理: \(x=(p_1^{k_1} *p_2^{k_2}\dots*p_n^{k_n})\) 其中\(p\)为\(x\)的质因子
3. \(\varphi(x)\)为积性函数 即 \(\varphi(p*q)=\varphi(p)*\varphi(q)\) 其中 p,q互质 .
4. \(\varphi(p^k)=(p-1)×(p^{k-1})\)
证明:
\(\varphi(x) = \varphi (p_1^{k_1}*p_2^{k_2} \dots *p_n^{k_n})\)其中\(p\)为\(x\)的质因子
\(\because x\)的质因子的任何次方都互质
\(\therefore \varphi(x)=\varphi(p_1^{k_1}) * \varphi(p_2^{k_2})*\dots*\varphi(p_n^{k_n})\)
而\(\varphi(p^k)=(p-1)×(p^{k-1})\)
\(\therefore \varphi(x)=(p_1-1) ×(p_2-1)*....*(p_n-1)(p_1^{k_1-1} *p_2^{k_2-1}\dots*p_n^{k_n-1})\)
前面各项每项提出一个\(p_i\)乘到后面去即得 \(\varphi(x)=x*\prod(1-\dfrac{1}{p_i})\)
4. 公式法和线性递推法求解欧拉函数
- \(O(\sqrt{n})\) 公式法
inline int phi(int x)
{
if(x==1) return 1;
int res=x;
for(register int i=2;i<=sqrt(x);i++){
if(x%i==0){
res-=res/i;
while(x%i==0) x/=i;
}
}
if(x!=1) res-=res/x;//最后一个也要算;
return res;
}
2.\(O(n)\) 递推法
for(int i=2;i<=n;i++){
if(!vis[i]) {prime[++tot]=i;phi[i]=i-1;}
for(int j=1;j<=tot;j++){
if(1ll*i*prime[j]>n) break;
vis[i*prime[j]]=1;
if(i%prime[j]==0) {
phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
//当 prime[j]是i的约数时,phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
break;
}
phi[i*prime[j]]=phi[i]*(phi[prime[j]]);
//否则,phi[i*prime[j]]=phi[i]*phi[j] =phi[i]*(prime[j]-1);
}
}
2. 欧拉函数的一些应用
例1. 作为体育委员，C君负责这次运动会仪仗队的训练。仪仗队是由学生组成的N * N的方阵，为了保证队伍在行进中整齐划一，C君会跟在仪仗队的左后方，根据其视线所及的学生人数来判断队伍是否整齐(如下图)。 现在，C君希望你告诉他队伍整齐时能看到的学生人数。luogu-P2158 [SDOI2008]仪仗队
解析:
观察发现，以观察点的右上为第1行第1列，则能被看到的点(x,y)在第x行第y列，必须满足 gcd(x,y)==1才能被看到，由图的对称性故最后答案应为：
$$2×(\varphi(2)+\varphi(3)+....+\varphi(N-1))+3$$
最后加三是对角线、左、右能看到的人。
例2.给定一个整数N，你需要求出\(\sum gcd(i, N)(1<=i <=N)\) luogu-P2303 Longge的问题
解析: 令t(x)为 gcd(i,N) 为 x 的个数。∴ t(1)=Φ(N) ;
$$t(x)=\sum (gcd(i,N)x)=\sum (gcd(i/x,n/x)1)=\sum \varphi(n/x)$$
故当x是n的因数时求出Φ(x/n)即可
例3. 题意：输入 N 和 M (2<=N<=1000000000, 1<=M<=N), 找出所有的X满足1<=X<=N 且 gcd(X,N)>=M.HDU-2588 GCD
解析:
1.首先若m==1,则答案为N
2.m≠1时，初步想法，将N进行质因数分解，则答案为其质因数的组合的积中大于m的组合个数，但实现起来不现实。
不妨设\(gcd(X,N)=Y >=M\)
则: \(令X=K*Y，其中一定有gcd(K,N)=1 且 Y|N，即Y是N的约数\)
于是有以下做法:先求出N的所有约数Y，\(\varphi(N/Y)\)之和(即符合条件的K的个数)
即为答案
为什么是\(\varphi(N/Y)\)呢？ 因为这样才能保证 \(K*Y<=N\)
