NOIP提高模拟-20181017-T1-发电机

写在前面

人生第$N$次爆零祭。

Solution

样例解释都说了是逆元，所以这肯定是一道数学题。

$70pts$做法

根据期望的线性性，我们可以将每个点被放置发电机的概率分开计算，那么对于每个点，只有它或者以它为根的子树内，才可以被影响到，而发电机的放置是随机即等概率的，那么设$siz_i$为以$i$为根节点的子树的大小，那么节点$i$被放置发电机的概率就是$\frac{1}{siz_i}$，所以说统计逆元，累加就好了，怎么求逆元？暴力快速幂啊，复杂度$O(NlogN)$。

$100pts$做法

然而本题的数据范围$N\leq10^7$，$O(NlogN)$显然会炸，所以说考虑$O(N)$的做法。显然，设要求逆元的数为$x$，则对于$\forall x \exists x \in [1,n]$。所以说我们可以直接递推求出所有的逆元。
假设要求$i$在模质数$p$意义下的逆元，设：
$ki+r=p,r\leq i$
则，
$ki+r\equiv 0 \pmod p$
$\therefore kir^{-1}+1\equiv 0 \pmod p$
$\therefore kir^{-1}\equiv -1 \pmod p$
$\therefore kr^{-1}\equiv -i^{-1} \pmod p$
又有$r\leq i$且$k$是常数，所以说我们可以直接递推就好了。
$i^{-1}\equiv -[\frac{p}{i}](p\%i) \pmod p$
时间复杂度为$O(N)$。
Talk is Cheap, Show You the Code：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=2e7+1e6;
const int mod=998244353;
int n,inv[N],fa[N],siz[N];
long long ans;
int read(){
	int sum=0,neg=1;
	char c=getchar();
	while(c>'9'||c<'0'&&c!='-') c=getchar();
	if(c=='-') neg=-1,c=getchar();
	while(c>='0'&&c<='9') sum=(sum<<1)+(sum<<3)+c-'0',c=getchar();
	return sum*neg;
}
int main(){
	n=read();
	inv[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++) fa[i]=read();
	for(int i=2;i<=n;i++) inv[i]=mod-(long long)mod/i*inv[mod%i]%mod;
	for(int i=n;i>=1;i--) siz[fa[i]]+=(++siz[i]),ans=ans+inv[siz[i]];
	printf("%d\n",ans%mod);
	return 0;
}