【数论专题】——推式子（2019/8/21更新）
今天主要就是推式子。
数论函数专题。
本文会参考大量资料（或者说照搬），会注明资料来源。
https://oi-wiki.org/(定义和证明等)
前置知识：
积性函数：形如
,则称
为积性函数。
几个必备积性函数：
- 欧拉函数:
- 莫比乌斯函数：
- 恒等函数：
,其中
通常记为
- 单位函数：
- 除数函数：
通常记做d(n)。
- 常数函数：
几个结论：
(推导使用)：
Dirichlet卷积：对于两个数论函数f,g,两者的Dirichlet卷积为：
一些基本的卷积式子：
（图源OIwiki）
这些式子对化简题目有极大作用。
既然是推式子，直接从一道例题入手：
求：
如果考虑朴素做法，对于n太大的情况无从下手，那么我们来简化式子。
我们考虑引入莫比乌斯函数：
我们枚举(i,j)的大小：
式子内同除以d，得到：
引入莫比乌斯函数：
将枚举顺序变换，同第一步，先枚举(i,j)，就可以把第四个sigma放到前面：
后面两个求和因为贡献是1，因此直接写成平方形式：
这里其实就可以直接数论分块写了，但还可以继续推：
令,枚举T的大小，并用Dirichlet卷积搞一搞：
我们把phi用线性筛整出来，很容易就得到答案了。
来一道练手题：
最后用数论分块等东西搞搞就行了。
补充一个筛mu函数的模板：
1 int vis[N],prime[N],mu[N],cnt; 2 void mu_sieve(){ 3 mu[1]=1; 4 for(int i=2;i<=N;i++){ 5 if(!vis[i]){ 6 prime[++cnt]=i; 7 mu[i]=-1; 8 } 9 for(int j=1;j<=cnt;j++){ 10 if(i*prime[j]>N) break; 11 vis[i*prime[j]]=1; 12 if(i%prime[j]==0){ 13 mu[i*prime[j]]=0; 14 break; 15 } 16 else mu[i*prime[j]]=-mu[i]; 17 } 18 } 19 }
在本题中，还需要筛出1~n的每个数约数个数和，可以看一下这位大佬的博客：GO
在线性筛基础上改造即可。
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 const int N=5e4+10; 4 int t,n,m; 5 int vis[N],prime[N],mu[N],d[N],num[N],cnt; 6 //vis 标记 prime 素数 mu 莫比乌斯函数 d 约数个数 num 最小质因子个数 7 void sieve(){ 8 vis[1]=d[1]=mu[1]=1; 9 for(int i=2;i<=N;i++){ 10 if(!vis[i]){ 11 prime[++cnt]=i; 12 num[i]=1; 13 d[i]=2; 14 mu[i]=-1; 15 } 16 for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=N;j++){ 17 vis[i*prime[j]]=1; 18 if(i%prime[j]==0){ 19 mu[i*prime[j]]=0; 20 d[i*prime[j]]=d[i]/(num[i]+1)*(num[i]+2); 21 num[i*prime[j]]=num[i]+1; 22 break; 23 } 24 else{ 25 d[i*prime[j]]=d[i]*d[prime[j]]; 26 num[i*prime[j]]=1; 27 mu[i*prime[j]]=-mu[i]; 28 } 29 } 30 } 31 for(int i=1;i<=N;i++){ 32 mu[i]+=mu[i-1]; 33 d[i]+=d[i-1]; 34 } 35 36 } 37 int main(){ 38 sieve(); 39 scanf("%d",&t); 40 for(int k=1;k<=t;k++){ 41 scanf("%d%d",&n,&m); 42 if(n>m) swap(n,m); 43 long long ans=0; 44 int i=1,j; 45 while(i<=n){ 46 j=min(n/(n/i),m/(m/i)); 47 ans+=1ll*(mu[j]-mu[i-1])*d[n/i]*d[m/i]; 48 i=j+1; 49 } 50 printf("%lld\n",ans); 51 } 52 return 0; 53 }
（于8/21日更新）
筛。
抽空学了一下min_25筛，重新整理一下思路：
使用对象:
对于一个函数
,需要满足以下三点：
是一个积性函数。
- 可以用一个较简单的多项式来表达
可以由
快速求得
用途：求出包含以上三个要点的函数的前缀和。
质数部分：
先给个式子：
表示小于等于n的所有数x中，最小质因子大于Pi或x本身为质数的函数和。
注意：这个函数把部分合数也当做质数处理了，但是本身不会影响答案统计，所以也是作者的明见之处。
对于这个过程：
我们去掉了Pi这个质因子，那么考虑两种情况：
- 对于一个最小质因子Pi，它能表达的最小合数就是Pi的平方，如果
，则说明n中无Pi这个质因子，因此对答案没有贡献，可以直接转移。
- 如果包含这个最小质因子，那么就要减去所有含有质因子Pi的合数，即
，但是这样又会重复减掉含有比Pi更小的质数的一些形如
的数，因此还要加回来，即
，组合起来就是上面那串式子了！
合数部分：
再来个式子：
表示小于等于n的所有x中，最小质因子大于等于Pi的函数和。
（一个提醒：在质数部分中我们已经求出了
的取值）
这个转移看起来好复杂，实际上也很简单：
- 对于前半部分：
分别是小于等于n的质数贡献之和，与不满足条件的部分,(质因子小于i的部分),合起来就是所有满足条件的质数贡献之和。
- 对于后半部分：
第一个sigma是枚举质因数，第二个是枚举指数，实际上整个过程就是在处理合数的情况，最后那个小部分是用来处理形如
的数，他们虽然也是合数，但因子只有一个并且是质数。
到这min_25筛的部分就基本结束了。什么？你问我板子怎么打？我也不知道。
下一次会是什么呢？continue……
