集合的所有分割方式---2013年1月28日

       问题描述:分割集合成多个子集合，这几个子集合间没有交集且他们的并集是原集合。

       思路:将包含n个元素的集合set的分割表示为n个数字。比如set[]={1,2,3,4}，那么{1,2},{3,4}就可以表示为1122,这4个数分别表示set[0]在第一个分割集合,set[1]在第一个分割集合，set[2]在第二个分割集合，set[3]在第二个分割集合。将这个过程称为编码。

       然后抓住两个要点:

       1.第i个元素的编码一定小于或者等于i。约定一下，set原集合已经从小到大排列好，分割的集合也是这样排好。然后，很容易理解，第1个元素的编码肯定为1。接着，第2个元素如果在第一个分割集合中，那么他的编码也是1;但如果不是在第一个分割集合中，那么第2个元素的编码肯定是2,因为在第二个分割集合中，最小的数最少也是2；依次类推，可以很容易用数学归纳法证明。

       2.第i个元素的编码一定小于等于1,2,3,....i-1这些元素的编码中的最大值再加1。这也很容易想到，也很容易用数学归纳法证明。

       抓住这个要点后，就用深度搜索构造一颗子集合树就可以解决问题了。但是，我在构造子集树的过程中出现了一个思维上的错误，导致浪费了不少调试的时间。具体的错误见代码注释的描述。

       代码如下:

#include <stdio.h>
#define MAX 1000

int set[MAX]={1,2,3,4};
int n=4;
int code[MAX]={1,1,1,1};

//prototype
void DFS(int index);

void print_set()
{
    int index;
    int max=-1;
    printf("{");
    for(index=0;index<n;index++)
    {
        if(code[index]==1) 
            printf("%d ",set[index]);
        if(max<code[index])
            max=code[index];
    }
    printf("},{");
    for(index=2;index<=max;index++)
    {
        int index_2; 
        for(index_2=0;index_2<n;index_2++)
            if(code[index_2]==index)
                printf("%d ",set[index_2]);
        printf("},{");
    }
    printf("\n");
}

//find out the max code of 1,2,3...i-1 and plus 1
int max_pre(int i)
{
    int index;
    int max=-1;
    for(index=0;index<i;index++)
        if(code[index]>max)
            max=code[index];
    return (max+1); 
}

int main()
{
    int i; 
    DFS(1);
    return 0;
}

void DFS(int index)
{
    print_set();
    if(index==n)
        return ;
    for(;index<n;index++)
    {  
        int temp=code[index]+1;
        //在写这里的代码时，我出现了一个思维上的误区:在回溯时我只顾把code[index]++，而没有将code[index]在2到max_pre(index)遍历，这导致了我调试了挺长时间。
        for(;temp<=index+1 && temp<=max_pre(index);temp++)
        {
            int save=code[index];
            code[index]=temp;
            DFS(index+1);
            code[index]=save;
        }

    }

}

       参考资料:《C语言名题精选百则技巧篇》

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