分配格充要条件的两种证明

分配格充要条件的证明

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一、格是模格的充要条件

格是模格的充要条件是对任意，若且存在使得

「证明：」 设是一个模格

对任意且，，

则

反之，设是一个格，对且有

因为，则，所以

而(1)

又

可得(2)

由(1)和(2)得

同理有

因为在上封闭，由定理假设条件有，即是模格

格是模格的充要条件为不含与五角格同构的子格

「证明：」 设含与五角格同构的子格

其中

得与模格定义矛盾，故格不是模格

若格不是模格，则中有适合，而的元素。令，则是中的元素，且，其中

而，所以

同理，又

所以，与所给条件矛盾

二、模格是分配格的充要条件

模格是模格的充要条件为不含与钻石格同构的子格

「证明：」 钻石格是一个模格，但

而

所以

故此五元格不是分配格

设是一非分配模格，且是此格中不满足分配律的任意三元素

令

则

由对称知

再证是五个不相等元素。不妨设，则，矛盾

若，则，而，导致，矛盾

同理，若令，可导致，矛盾

设，有，矛盾，知与不可比，由对称性，均两两不可比

三、格是分配格的充要条件

格是模格的充要条件为不含与五角格或钻石格同构的子格

「证明：」 由一和二的证明易得

「推论：」 任何一个小于五个元的格都是分配格

「另证：」 形如五角格和钻石格的格都不是分配格

若格是分配格，则必不含这样的子格

现考察一般格中任意元素，利用格定义，有以下情况

(1) 任意两个都存在偏序关系

(2) 中有两个不存在偏序关系，但都与第三个存在偏序关系

(3) 中有两个存在偏序关系，但都与第三个不存在偏序关系

(4) 中任意两个都不存在偏序关系

「I：」

「II：」

若格中不含这样的子格，则只能是(1)、(2)和(4).I

而这几种情况的格均为分配格

一个格是模格的充要条件为对任意有

「证明：」 先证必要性，若为一个分配格

因为，，有，而，所以

再证充分性

而

所以

得到

由对偶原理

因此，格为分配格

「参考文献」

[1]张敏先.关于模格、分配格充要条件的严格推证[J].重庆邮电学院学报,1993(01):22-26.

[2]许华康.分配格充要条件的一个直接证明[J].数学的实践与认识,1988(03):77-79.