分配格充要条件的两种证明
分配格充要条件的证明
一、格是模格的充要条件
格是模格的充要条件是对任意,若且存在使得
「证明:」 设是一个模格
对任意且,,
则
反之,设是一个格,对且有
因为,则,所以
而(1)
又
可得(2)
由(1)和(2)得
同理有
因为在上封闭,由定理假设条件有,即是模格
格是模格的充要条件为不含与五角格同构的子格
![](https://static01.imgkr.com/temp/0f8edbafb4234ef3948ff5ae9a4a9a96.png)
「证明:」 设含与五角格同构的子格
其中
得与模格定义矛盾,故格不是模格
若格不是模格,则中有适合,而的元素。令,则是中的元素,且,其中
而,所以同理,又
所以,与所给条件矛盾
二、模格是分配格的充要条件
模格是模格的充要条件为不含与钻石格同构的子格
![](https://static01.imgkr.com/temp/ff2602e9bdfa41b0b55ac8e8e393540a.png)
「证明:」 钻石格是一个模格,但
而
所以
故此五元格不是分配格
设是一非分配模格,且是此格中不满足分配律的任意三元素
令
则
由对称知
再证是五个不相等元素。不妨设,则,矛盾
若,则,而,导致,矛盾
同理,若令,可导致,矛盾
设,有,矛盾,知与不可比,由对称性,均两两不可比
三、格是分配格的充要条件
格是模格的充要条件为不含与五角格或钻石格同构的子格
「证明:」 由一和二的证明易得
「推论:」 任何一个小于五个元的格都是分配格
「另证:」 形如五角格和钻石格的格都不是分配格
若格是分配格,则必不含这样的子格
现考察一般格中任意元素,利用格定义,有以下情况
(1) 任意两个都存在偏序关系
![](https://static01.imgkr.com/temp/0e3634801b604e958c1d8a0743d87e94.png)
(2) 中有两个不存在偏序关系,但都与第三个存在偏序关系
![](https://static01.imgkr.com/temp/5df4615062e849d7980bed43d040a731.png)
(3) 中有两个存在偏序关系,但都与第三个不存在偏序关系
![](https://static01.imgkr.com/temp/43c38cfb3cfd4acf9b362e181a26e882.png)
(4) 中任意两个都不存在偏序关系
「I:」
「II:」
若格中不含这样的子格,则只能是(1)、(2)和(4).I
而这几种情况的格均为分配格
一个格是模格的充要条件为对任意有
「证明:」 先证必要性,若为一个分配格
因为,,有,而,所以
再证充分性
而
所以
得到
由对偶原理
因此,格为分配格
「参考文献」
[1]张敏先.关于模格、分配格充要条件的严格推证[J].重庆邮电学院学报,1993(01):22-26.
[2]许华康.分配格充要条件的一个直接证明[J].数学的实践与认识,1988(03):77-79.
作者:Neige214
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