树形背包[2/ 50] luogu [P1273]

前言

在笔者做出了上一道超级板题后，开始肝起了之前gm开的链接的题。而这次这道题，其实和某某苹果树真的很像，连dp的状态都几乎一毛一样。只是需要在时间上有亿些优化。（其实之前lh大巨佬在评讲的时候讲过思路的，只是菜鸡笔者当时没有打出来）

题目

你谷传送门

看到这道题，笔者瞬间要素察觉：诶！树！诶！传输费用已知！诶！观看用户数最大！（逃）

本着认真负责踏实严谨的治学态度（再次 正经脸 不要脸）：

我们分析一下: 如果我们选择给某一个用户传送信号，即在这个点和根的这条路径上的点都要传送到，所以我们就联系到上一篇blog做到的那种方法：（不要急着那么用，会T的）

状态转移方程：\(dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[son][k] + dp[i][j - son] - way[i][son]\)

T掉的代码

于是笔者想到这，就很快的打出了代码

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <vector>
using namespace std;
const int maxn = 3005;

struct data{
	int w, dis;
};

int n, m; 
int money[maxn];
bool vis[maxn];  //因为是单向存边，这个东东好像没必要 
int dp[maxn][maxn];  
vector<data> way[maxn];

void dfs(int x){
	vis[x] = 1;
	if(x >= (n - m + 1)){
		dp[x][1] = money[x];
//		printf("%d\n", x);
		return;
	}
	for(int i = 0; i < way[x].size(); i ++){
		data flag2 = way[x][i];
		if(!vis[flag2.w]){
			dfs(flag2.w);
			for(int j = n; j >= 0; j --){
				for(int k = 0; k <= j; k ++){
					dp[x][j] = max(dp[x][j], dp[flag2.w][k] + dp[x][j - k] - flag2.dis);
				}
			}
		}
	}
}

int main() {
	memset(dp, -0x3f3f3f3f, sizeof(dp));
	for(int i = 0; i < maxn; i ++){
		dp[i][0] = 0;
	}
	scanf("%d %d", &n, &m);
	for(int i = 1; i <= (n - m); i ++){
		int k;
		scanf("%d", &k);
		for(int j = 1; j <= k; j ++){
			data flag;
			scanf("%d %d", &flag.w, &flag.dis);
			way[i].push_back(flag);
		}
	} 
	for(int i = 1; i <= m; i ++){
		scanf("%d", &money[(n - m) + i]);
	}
	dfs(1);
	int ans = 0;
	for(int i = n; i >= 0; i --){
		if(dp[1][i] >= 0){
			printf("%d", i);
			return 0;
		}
	} 
	return 0;
} 

但是这份逻辑上没有什么毛病的代码，在你谷上不开$O_2$50 pts， 开了 60 pts， OJ 上 63 pts

正解

T了后，笔者就把那些奇奇怪怪的不必要的东西去掉后，依旧没有改进，但是笔者盲猜是自己的DFS T掉了， 于是开始打量起了代码。突然灵光乍现想到了一点点优化，于是乎，就A了

先放代码吧

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <vector>
using namespace std;
const int maxn = 3005;

struct data{
	int w, dis;
};

int n, m; 
int money[maxn];
int sum[maxn];
int dp[maxn][maxn];  
vector<data> way[maxn];

void findsum(int x){
	for(int i = 0; i < way[x].size(); i ++){
		findsum(way[x][i].w);
		sum[x] += sum[way[x][i].w] + 1;
	}
}

void dfs(int x){
	if(x >= (n - m + 1)){
		dp[x][1] = money[x];
		return;
	}
	for(int i = 0; i < way[x].size(); i ++){
		data flag2 = way[x][i];
		dfs(flag2.w);
		for(int j = sum[x]; j >= 0; j --){
			for(int k = 0; k <= j; k ++){
				dp[x][j] = max(dp[x][j], dp[flag2.w][k] + dp[x][j - k] - flag2.dis);
			}
		}
	}
}

int main() {
	memset(dp, -0x3f3f3f3f, sizeof(dp));
	for(int i = 0; i < maxn; i ++){
		dp[i][0] = 0;
	}
	scanf("%d %d", &n, &m);
	for(int i = 1; i <= (n - m); i ++){
		int k;
		scanf("%d", &k);
		for(int j = 1; j <= k; j ++){
			data flag;
			scanf("%d %d", &flag.w, &flag.dis);
			way[i].push_back(flag);
		}
	} 
	findsum(1);
	for(int i = 1; i <= m; i ++){
		scanf("%d", &money[(n - m) + i]);
	}
	dfs(1);
	int ans = 0;
	for(int i = n; i >= 0; i --){
		if(dp[1][i] >= 0){
			printf("%d", i);
			return 0;
		}
	} 
	return 0;
} 

其实这当中唯一的优化只有一点点

  for(int j = sum[x]; j >= 0; j --)

这个\(sum\)数值是什么东西呢，就是在这个节点下面还有多少个节点（再用一个dfs遍历就好了）

在一个节点\(x\)下，最多可以传送到的也就只有\(sum[x]\)个，所以这个优化是很好证

时间对比